Efni.

• Að stíga
• Hluti 1 af 3: Grunnatriði greiningar
• Hluti 2 af 3: Skildu afleiður
• Hluti 3 af 3: Skildu heildstætt
• Ábendingar

Greining (einnig kölluð reiknifræði) er grein stærðfræðinnar sem beinist að mörkum, föllum, afleiðum, heildstæðum og óendanlegum röð. Þessi grein fjallar um mikla stærðfræði og liggur til grundvallar mörgum formúlum og jöfnum sem notaðar eru í eðlisfræði og vélfræði. Þú verður líklega að hafa haft nokkurra ára stærðfræði í menntaskóla til að skilja greiningu almennilega, en þessi grein mun koma þér af stað í því að læra að þekkja lykilhugtökin auk betri skilnings á kenningunni.

Að stíga

Hluti 1 af 3: Grunnatriði greiningar

1. Greining er rannsóknin á því hvernig hlutirnir breytast. Greining er grein stærðfræðinnar sem skoðar tölur og línurit, venjulega tekin úr raunverulegum gögnum og útskýrir hvernig þau breytast. Þó að þetta virðist kannski ekki vera mjög gagnlegt í fyrstu, þá er greining ein algengasta grein stærðfræðinnar. Ímyndaðu þér að hafa tækin til að segja þér hversu hratt fyrirtæki þitt vex á hverjum tíma, eða hvernig hægt er að kortleggja gang geimskips og hversu hratt eldsneyti þess er notað. Greining er mikilvægt tæki í verkfræði, hagfræði, tölfræði, efnafræði og eðlisfræði og hefur stuðlað að mörgum uppfinningum og uppgötvunum.
2. Aðgerðir eru sambönd milli tveggja talna og eru notuð til að kortleggja sambönd. Þau eru reglur um samband talna og stærðfræðingar nota þær til að búa til línurit. Í aðgerð hefur hvert inntak nákvæmlega eina útkomu. Til dæmis: í ${ displaystyle y = 2x + 4,}$Hugsaðu um hugtakið óendanleika. Óendanleikinn er stöðug endurtekning á ferli. Það er ekki sérstakur staður (þú getur ekki farið í óendanleikann), heldur hegðun tölu eða jöfnu, ef það er gert að eilífu. Þetta er mikilvægt fyrir rannsókn á breytingum: þú gætir viljað vita hversu hratt bíllinn þinn er á hverjum tíma, en er það hversu hratt bíllinn þinn er á þessari sekúndu? Millisekúndu? Nanósekúndu? Þú getur fundið óendanlega minni tíma klumpa til að vera enn nákvæmari og það er þegar greining kemur inn.
3. Skilja hugtakið takmörk. Mörk segja þér hvað gerist þegar eitthvað nálgast óendanleikann. Taktu töluna 1 og deildu henni með 2. Haltu áfram að deila með 2 aftur og aftur. 1 verður 1/2 og síðan 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 osfrv. Í hvert skipti sem talan verður minni og minni, „nær“ núlli. En hvar stoppar það? Hversu oft þarftu að deila 1 með 2 til að fá núll? Í stað þess að svara þessari spurningu stillir þú upp í greiningu takmarka Í þessu tilfelli eru mörkin.
   • Auðveldast er að sjá fram á mörk í línuriti - til dæmis eru til punktar sem línurit snertir næstum, en aldrei alveg?
   • Takmörk geta verið fjöldi, óendanleg eða jafnvel engin. Til dæmis, með viðbótaröðinni 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... og þetta heldur áfram endalaust, endanleg tala verður óendanlega stór. Mörkin verða síðan óendanleg.
4. Farðu yfir helstu stærðfræðihugtök algebru, þríhæfni og grunnatriði stærðfræðinnar. Greining byggir á miklu af stærðfræðinni sem þú hefur lært áður. Að vera vel upplýstur um öll efni gerir það miklu auðveldara að læra og skilja greiningu. Nokkur umræðuefni til að þreyta eru:
   • Algebru. Þú þarft að skilja mismunandi ferla og geta leyst jöfnur og jöfnukerfi með mörgum breytum. Skilja grunnatriði söfnunar. Æfðu þig í að gera gröf.
   • Rúmfræði. Rúmfræði er rannsókn á formum. Þú ættir að hafa grunnþekkingu á þríhyrningum, ferhyrningum og hringjum og hvernig á að reikna hluti eins og jaðar og flatarmál. Skilið sjónarhorn, línur og hnit
   • Þríhæfing. Þríhæfing er sú grein stærðfræðinnar sem fjallar um eiginleika hringa og hægri þríhyrninga. Vita hvernig á að nota þríhyrningseiningar, línurit, aðgerðir og öfuga þríhyrningaaðgerðir.
5. Kauptu grafreiknivél. Greining er ekki auðskilin án þess að sjá hvað þú ert að gera. Línurit reiknivélar gera aðgerðir sjónrænar svo að þú skiljir betur hvaða jöfnur þú ert að fást við. Oft eru mörkin einnig birt á skjánum og afleiður og aðgerðir eru reiknaðar sjálfkrafa.
   • Margir snjallsímar og spjaldtölvur bjóða upp á ódýr en árangursrík grafíkforrit ef þú vilt ekki eða getur ekki keypt grafíkreiknivél.

Hluti 2 af 3: Skildu afleiður

1. Greining er notuð til að kanna „breytingar á ákveðnu augnabliki“. Að vita hvers vegna eitthvað breytist á nákvæmu augnabliki er kjarninn í greiningunni. Til dæmis, greining gefur þér ekki aðeins hraða bíls, heldur einnig hversu mikið sá hraði breytist á hverjum tíma. Þetta er ein einfaldasta notkun greiningar, en mjög mikilvæg. Ímyndaðu þér hversu mikilvægar slíkar upplýsingar eru við að ákvarða hraðann sem þarf til að koma geimskipinu til tunglsins!
   • Að ákvarða breytingar á ákveðnum tímapunkti hefur aðgreina. Aðgreining er fyrsta af tveimur helstu greinum greiningar.
2. Notaðu afleiður til að skilja hvernig hlutirnir breytast á hverjum tíma. „Afleiða“ er fínt orð yfir eitthvað sem gerir nemendur oft kvíða. Hugtakið sjálft er þó ekki svo erfitt að skilja - það þýðir bara „hversu fljótt eitthvað breytist.“ Afleiðurnar sem þú lendir mest í daglegu lífi hafa að gera með hraða. Hins vegar kallarðu það yfirleitt ekki „afleiðu hraðans“ heldur einfaldlega „hröðun“.
   • Hröðun er afleiða - hún segir þér hversu hratt eitthvað er að hraða eða hægja á sér eða hvernig hraði þess er að breytast.
3. Veistu að breytingartíðni er jöfn hallanum milli tveggja punkta. Þetta er ein mikilvægasta uppgötvun greiningar. Breytingartíðni milli tveggja punkta er jöfn halla línunnar milli þessara tveggja punkta. Hugsaðu bara um einfalda línu, svo sem línuna ${ displaystyle y = 3x.}$Veistu að þú getur ákvarðað halla bogna lína. Að ákvarða halla beinnar línu er tiltölulega auðvelt: hversu mikið breytist ${ displaystyle y}$Ef þú vilt reikna breytinguna nákvæmar, vertu viss um að stigin séu nær hvort öðru. Því nær sem þú velur tvö stig, því nákvæmara er svarið þitt. Segjum að þú viljir vita hversu mikið bíllinn þinn flýtir fyrir þegar þú ýtir á eldsneytisgjöfina. Þú vilt ekki mæla hraðabreytinguna á milli húss þíns og kjörbúðar heldur hraðabreytingin frá því að þú smellir á eldsneytisgjöfina. Því nær sem lestur þinn nær þessum sekúndubroti, því nákvæmari er útreikningur þinn á breytingunni.
   • Til dæmis eru vísindamenn að kanna hversu fljótt sumar tegundir deyja út til að bjarga þeim. Samt sem áður deyja fleiri dýr á veturna en á sumrin, svo það er ekki gagnlegt að kanna breytingartíðni yfir árið - það er betra að ákvarða breytingartíðni innan minni tíma, svo sem frá 1. júlí til 1. ágúst.
4. Notaðu óendanlega stuttar línur til að ákvarða „augnablik breytingartíðni“ eða finndu afleiðuna. Þetta er þar sem greining verður oft svolítið ruglingsleg, en þetta er í raun afleiðing af tveimur einföldum staðreyndum. Fyrst af öllu veistu að halli línu er jafn hversu hratt sú lína breytist. Í öðru lagi veistu að því nær sem punktar línunnar eru hver öðrum, því nákvæmari verður lesturinn. En hvernig finnur þú breytingartíðni á tilteknum tímapunkti ef hallinn er sambandið milli tveggja punkta? Svarið: Þú velur tvö stig sem eru óendanlega nálægt hvort öðru.
   • Hugleiddu dæmið þar sem þú deilir áfram 1 með 2 og færð þannig 1/2, 1/4, 1/8 o.s.frv. Svo að lokum kemurðu nálægt núllinu og svarið er „næstum núll“. Stigin eru svo nálægt hvort öðru að þau eru „næstum jöfn hvort öðru“. Þetta er eðli afleiðna.
5. Lærðu hvernig á að ákvarða ýmsar afleiður. Það er til fjöldinn allur af mismunandi aðferðum til að finna afleiðu eftir jöfnu, en flestar þeirra eru skynsamlegar ef þú hefur lagt á minnið grunnatriðin í afleiðum hér að ofan. Allar afleiður eru leið til að finna halla „óendanlegrar“ línu. Nú þegar þú veist meira um afleiddar kenningar er mikið af vinnunni að finna svörin.
6. Finndu afleiddar jöfnur til að spá fyrir um breytingartíðni hvenær sem er. Það er gagnlegt að nota afleiður til að ákvarða breytingartíðni hverju sinni, en fegurðin við greininguna er að þú getur búið til nýtt líkan fyrir hvaða aðgerð sem er. Afleiðan af ${ displaystyle y = x ^ {2},}$Ef þér finnst þetta erfitt að skilja, reyndu að muna raunveruleg dæmi um afleiður. Einfaldasta dæmið er byggt á hraða, sem nær yfir mikið af mismunandi afleiðum sem við lendum í á hverjum degi. Ekki gleyma: afleiða er mælikvarði á hversu fljótt eitthvað breytist. Hugsaðu um einfalda tilraun. Þú rúllar marmara á borð og mælir hversu langt hann hreyfist og hversu hratt í hvert skipti. Ímyndaðu þér núna að veltingur marmarinn fylgir línu á línuriti - þú ert að nota afleiður til að mæla augnabliksbreytingar hvenær sem er á þeirri línu.
   • Hversu hratt hreyfist marmarinn? Á hvaða hraða breytist staða (eða afleiða) marmarans á hreyfingu? Við köllum þessa afleiðu „hraða“.
   • Rúllaðu marmaranum meðfram brekku og athugaðu hvernig hraðinn breytist. Hvert er breytingartíðni, eða afleiða, hraðans á marmaranum? Þessi afleiða er það sem við köllum „hröðun“.
   • Rúllaðu marmaranum eftir bylgju lagi, svo sem rússíbana. Að hve miklu leyti nær marmarinn hraða þegar hann rúllar niður og að hve miklu leyti hægir marmarinn upp á við? Hversu hratt fer marmarinn nákvæmlega þegar hann er hálfa leið upp fyrstu hæðina? Þetta er augnablik breytingartíðni, eða afleiða, þess marmara á einum ákveðnum stað.

Hluti 3 af 3: Skildu heildstætt

1. Veit að þú getur notað greiningu til að finna flókin svæði og magn. Með greiningu er hægt að mæla flókin form sem annars er erfitt að mæla. Hugleiddu til dæmis vandamálið sem þú vilt vita hversu mikið vatn í löngu, óreglulega löguðu vatni er að finna - það er ómögulegt að mæla hvern lítra af vatni sérstaklega eða nota reglustiku til að mæla lögun vatnsins. Með greiningu geturðu kannað hvernig brúnir vatnsins eru að breytast og síðan notað þær upplýsingar til að komast að því hve mikið vatn það inniheldur.
   • Gerð rúmfræðilíkön og rannsókn á magni samþætta. Samþættur reikningur er önnur mikilvæg greining greinarinnar.
2. Vita að samþætting er svæðið fyrir neðan línurit. Samþætting er notuð til að mæla rýmið fyrir neðan línu, sem gerir þér kleift að ákvarða svæði skrýtinna eða óreglulegra forma. Taktu jöfnuna ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$Veistu að þú verður að velja svæði til að samþætta. Þú getur ekki einfaldlega samþætt heila aðgerð. Til dæmis, ${ displaystyle y = x}$Hugsaðu um hvernig á að reikna flatarmál rétthyrnings. Segjum að þú sért með flata línu fyrir ofan línurit, svo sem ${ displaystyle y = 4.}$Veistu að í heildarreikningi er mörgum litlum ferhyrningum bætt saman til að finna svæði svæðisins. Þegar þú stækkar kúrfuna gífurlega virðist hún vera bein lína. Þú sérð þetta á hverjum degi - þú getur ekki skynjað sveigju jarðarinnar vegna þess að þú ert svo nálægt yfirborði jarðar. Samþætting skapar óendanlega marga litla ferhyrninga undir sveig sem eru svo litlir að þeir eru í grundvallaratriðum flattir og gerir þér kleift að telja þá. Allir þessir rétthyrningar sem samanlagt eru mynda flatarmál svæðisins undir ferli.
   • Segjum að þú bætir saman mörgum litlum hlutum fyrir neðan línuritið, og það er breidd hvers hluta næstum því er núll.
3. Vita hvernig á að lesa og skrifa niður heildartæki rétt. Innbyggt samanstanda af 4 hlutum. Dæmigerð heildstæða lítur svona út:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ Lærðu meira um að finna heildstætt. Samþætting er í mörgum myndum og þú verður að læra fullt af mismunandi formúlum til að samþætta hverja aðgerð. Samt sem áður fylgja þeir öllum meginreglunum sem lýst er hér að framan: samþætting er summan af óendanlega mörgum hlutum.
   • Sameina með skiptingu.
   • Reiknaðu ótímabundna integrala.
   • Sameina með því að deila.
4. Vita að samþætting er hið gagnstæða aðgreining og öfugt. Þetta er þumalputtaregla greiningar sem er svo mikilvæg að hún hefur fengið sitt eigið nafn: Aðal setning heildarútreiknings.Þar sem samþætting og aðgreining er svo nátengd er hægt að nota sambland af þessu tvennu til að ákvarða hraða breytinga, hröðunar, hraða, staðsetningar, hreyfingar osfrv., Óháð því hvaða upplýsingar þú hefur.
   • Mundu til dæmis að afleiða hraðans er hröðunin, þannig að þú getur notað hraðann til að finna hröðunina. En ef þú veist aðeins hröðun einhvers (eins og hlutir sem falla vegna þyngdarafls), þá geturðu samlagast til að ná aftur hraða!
5. Veistu að með samþættingu geturðu einnig stjórnað rúmmáli þrívíddarhluta. Snúningur á flatri lögun er ein leið til að búa til þrívíddarefni. Ímyndaðu þér að mynt snúist á borðinu - taktu eftir því hvernig myntin virðist taka á sig kúlu þegar hún snýst. Þetta hugtak gerir þér kleift að ákvarða hljóðstyrk samkvæmt ferli sem kallast „rúmmál með snúningi“.
   • Þetta gerir þér kleift að ákvarða rúmmál hvers efnis, svo framarlega sem þú hefur aðgerð sem táknar það. Til dæmis er hægt að búa til aðgerð sem rekur botn vatnsins og síðan nota það til að ákvarða rúmmál vatnsins, eða hversu mikið vatn það inniheldur.

Ábendingar

• Æfingin skapar meistarann, svo gerðu æfingarnar í kennslubókinni þinni - jafnvel þær sem kennarinn þinn hefur ekki gefið - og athugaðu svörin til að hjálpa þér að skilja hugtökin betur.
• Ef þú finnur ekki lausn skaltu spyrja kennarann ​​þinn.