Efni.

• Skref
• Aðferð 1 af 3: Hvernig á að finna óþekktu hliðina
• Aðferð 2 af 3: Að finna óþekkt horn
• Aðferð 3 af 3: Dæmi um vandamál
• Ábendingar

Kósínusetningin er mikið notuð í þríhyrningafræði. Það er notað þegar unnið er með óreglulega þríhyrninga til að finna óþekkt magn eins og hliðar og horn. Setningin er svipuð Pýþagórasetningunni og er frekar auðvelt að muna hana. Kósínusetningin segir að í hvaða þríhyrningi sem er ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

Skref

Aðferð 1 af 3: Hvernig á að finna óþekktu hliðina

1. 1 Skrifaðu niður þekkt gildi. Til að finna óþekkta hlið þríhyrningsins þarftu að þekkja hinar hliðarnar og hornið á milli þeirra.
   • Til dæmis gefið þríhyrning XYZ. YX hliðin er 5 cm, YZ hliðin er 9 cm og Y hornið er 89 °. Hver er XZ hliðin?
2. 2 Skrifaðu niður kósínusetninguna. Formúla: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, hvar ${ displaystyle c}$ - óþekktur aðili, ${ displaystyle cos {C}}$ - kósínus hornsins á móti hinni óþekktu hlið, ${ displaystyle a}$ og ${ displaystyle b}$ - tvær þekktar hliðar.
3. 3 Settu þekkt gildi í formúluna. Breytur ${ displaystyle a}$ og ${ displaystyle b}$ tákna tvær þekktar hliðar. Breytilegt ${ displaystyle C}$ er þekkt horn sem liggur á milli hliðanna ${ displaystyle a}$ og ${ displaystyle b}$.
   • Í dæminu okkar er XZ hliðin óþekkt, þannig að í formúlunni er hún táknuð sem ${ displaystyle c}$... Þar sem hliðarnar YX og YZ eru þekktar eru þær táknar með breytunum ${ displaystyle a}$ og ${ displaystyle b}$... Breytilegt ${ displaystyle C}$ er hornið Y. Þannig að formúlan verður skrifuð þannig: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 Finndu kósínus í þekktu horni. Gerðu það með reiknivél. Sláðu inn horngildi og smelltu síðan á ${ displaystyle COS}$... Ef þú ert ekki með vísindalegan reiknivél skaltu finna kósínustaflu á netinu, til dæmis hér. Einnig í Yandex geturðu slegið inn „cosinus of X degrees“ (komið í stað horngildis fyrir X) og leitarvélin birtir cosinus hornsins.
   • Til dæmis er kósínus 89 ° ≈ 0,01745. Svo: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$.
5. 5 Margfalda tölurnar. Margfalda ${ displaystyle 2ab}$ við kósínus í þekktu horni.
   • Til dæmis:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
6. 6 Brjótið ferninga þekktra hliða. Mundu að til að kvaðra tölu verður að margfalda það með sjálfu sér. Fyrst, veldu samsvarandi tölur og bættu síðan við gildunum.
   • Til dæmis:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
7. 7 Dragðu tvær tölur frá. Þú munt finna ${ displaystyle c ^ {2}}$.
   • Til dæmis:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 Taktu kvaðratrótina af þessu gildi. Til að gera þetta skaltu nota reiknivél. Þannig finnurðu hina óþekktu hlið.
   • Til dæmis:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ displaystyle c = 10.2191}$
     Þannig að óþekkta hliðin er 10.2191 cm.

Aðferð 2 af 3: Að finna óþekkt horn

1. 1 Skrifaðu niður þekkt gildi. Til að finna óþekkta horn þríhyrningsins þarftu að þekkja allar þrjár hliðar þríhyrningsins.
   • Til dæmis gefið þríhyrning RST. CP CP hliðar = 8 cm, ST = 10 cm, PT = 12 cm Finnið gildi hornsins S.
2. 2 Skrifaðu niður kósínusetninguna. Formúla: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, hvar ${ displaystyle cos {C}}$ - kósínus af óþekktu horni, ${ displaystyle c}$ - þekkt hlið á móti óþekktu horni, ${ displaystyle a}$ og ${ displaystyle b}$ - tvær aðrar frægar veislur.
3. 3 Finndu gildin a{ displaystyle a}, b{ displaystyle b} og c{ displaystyle c}. Settu þá í formúluna.
   • Til dæmis er RT hliðin andstæð hinu óþekkta horni S, þannig að RT hliðin er ${ displaystyle c}$ í formúlunni. Aðrir flokkar munu ${ displaystyle a}$ og ${ displaystyle b}$... Þannig að formúlan verður skrifuð sem hér segir: ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 Margfalda tölurnar. Margfalda ${ displaystyle 2ab}$ við kósínus hins óþekkta horns.
   • Til dæmis, ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 Uppréttur c{ displaystyle c} í ferning. Það er að margfalda töluna sjálfa.
   • Til dæmis, ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 Brjótið ferninga a{ displaystyle a} og b{ displaystyle b}. En fyrst, veldu samsvarandi tölur.
   • Til dæmis:
     ${ displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 Einangra kósínus hins óþekkta horns. Til að gera þetta, draga upphæðina frá ${ displaystyle a ^ {2}}$ og ${ displaystyle b ^ {2}}$ frá báðum hliðum jöfnunnar. Skiptu síðan hvorri hlið jöfnunnar með stuðlinum í kósínus í óþekkta horninu.
   • Til dæmis, til að einangra kósínus í óþekkt horni, dragðu 164 frá báðum hliðum jöfnunnar og deildu síðan hvorri hlið með -160:
     ${ displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ displaystyle 0.125 = cos {C}}$
8. 8 Reiknaðu andhverfu kósínus. Þetta mun finna gildi hins óþekkta horn. Á reiknivélinni er andhverfa kósínus fallið táknað ${ displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • Til dæmis er arkósínið 0,0125 82,8192. Þannig að hornið S er 82,8192 °.

Aðferð 3 af 3: Dæmi um vandamál

1. 1 Finndu óþekkta hlið þríhyrningsins. Þekktu hliðarnar eru 20 cm og 17 cm og hornið á milli þeirra er 68 °.
   • Þar sem þér eru gefnar tvær hliðar og hornið á milli þeirra geturðu notað kósínusetninguna. Skrifaðu niður formúluna: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Óþekkta hliðin er ${ displaystyle c}$... Settu þekkt gildi í formúluna: ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • Reikna ${ displaystyle c ^ {2}}$, eftir röð stærðfræðilegra aðgerða:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0.3746)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 434.2675}$
   • Taktu kvaðratrótina á báðum hliðum jöfnunnar. Svona finnurðu óþekkta hliðina:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ displaystyle c = 20.8391}$
     Þannig að óþekkta hliðin er 20,8391 cm.
2. 2 Finnið hornið H í þríhyrningi GHI. Tvær hliðar sem liggja að horni H eru 22 og 16 cm. Hliðin á móti horni H er 13 cm.
   • Þar sem allar þrjár hliðarnar eru gefnar er hægt að nota kósínusetninguna. Skrifaðu niður formúluna: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Hliðin á móti óþekkta horninu er ${ displaystyle c}$... Settu þekkt gildi í formúluna: ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • Einfalda útkomuna tjáningu:
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • Einangra kósínus:
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
   • Finndu andhverfu kósínus. Svona reiknarðu út óþekkta hornið:
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35.7985 = COS ^ {- 1}}$.
     Þannig er hornið H 35,7985 °.
3. 3 Finndu lengd slóðarinnar. Áin, hæðir og mýrar leiðir mynda þríhyrning. Lengd River Trail er 3 km, lengd Hillly Trail er 5 km; þessar slóðir skerast hver við annan í 135 ° horni. Mýrarslóðin tengir saman tvo enda hinna gönguleiðanna. Finndu lengd Swamp Trail.
   • Stígarnir mynda þríhyrning. Þú þarft að finna lengd hins óþekkta leiðar, sem er hlið þríhyrningsins. Þar sem lengdir hinna tveggja leiðanna og hornið á milli þeirra eru gefnar er hægt að nota kósínusetninguna.
   • Skrifaðu niður formúluna: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Óþekkta leiðin (mýri) verður merkt sem ${ displaystyle c}$... Settu þekkt gildi í formúluna: ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • Reikna ${ displaystyle c ^ {2}}$:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) ( - 0.7071)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - ( - 21.2132)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 55.2132}$
   • Taktu kvaðratrótina á báðum hliðum jöfnunnar. Svona finnur þú lengd hinnar óþekktu leiðar:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ displaystyle c = 7.4306}$
     Þannig að lengd mýrarstígsins er 7,4306 km.

Ábendingar

• Það er auðveldara að nota sinus setninguna. Finndu því fyrst út hvort hægt sé að beita því á tiltekið vandamál.