Efni.

• Að stíga
• Aðferð 1 af 3: Fyrsta einfalda verkefni
• Aðferð 2 af 3: Reiknaðu vænt gildi fyrir ákveðna niðurstöðu
• Aðferð 3 af 3: Skiljið hugtakið
• Ábendingar
• Nauðsynjar

Væntingargildi er tölfræðilegt hugtak og hugtak notað til að ákveða hversu gagnleg eða skaðleg aðgerð verður. Til að reikna út vænt gildi er nauðsynlegt að öðlast góðan skilning á hverri útkomu í tilteknum aðstæðum og tilheyrandi líkindum, eða líkurnar á að tiltekin niðurstaða muni eiga sér stað. Skrefin hér að neðan eru nokkur dæmi um æfingar sem hjálpa þér að skilja hugmyndina um væntingargildið.

Að stíga

Aðferð 1 af 3: Fyrsta einfalda verkefni

1. Lestu yfirlýsinguna. Áður en þú byrjar að hugsa um allar mögulegar niðurstöður og líkur er mikilvægt að þú skiljir vandamálið. Til dæmis teningaleikur sem kostar € 10 á leikinn. Hex deyja er rúllað einu sinni og vinningar þínir fara eftir fjölda sem þú rúllar. Ef 6 er rúllað vinnurðu 30 €; a 5 þénar 20 €; önnur tala skilar engu.
2. Skráðu allar mögulegar niðurstöður. Það hjálpar til við að telja upp allar mögulegar niðurstöður í tilteknum aðstæðum. Í dæminu hér að ofan eru 6 mögulegar niðurstöður. Þetta eru: (1) rúllaðu 1 og þú tapar $ 10, (2) rúllar 2 og þú tapar $ 10, (3) rúllar 3 og þú tapar $ 10, (4) rúllar 4 og þú tapar $ 10 , (5) rúlla 5 og vinna $ 10, (6) rúlla 6 og vinna $ 20.
   • Athugaðu að hver útkoma er € 10 minna en lýst er hér að ofan, þar sem þú verður að borga € 10 fyrir leikinn fyrst, óháð útkomunni.
3. Finndu líkurnar á hverri niðurstöðu. Í þessu tilfelli eru líkurnar á 6 niðurstöðum þær sömu. Líkurnar á því að handahófskenndri tölu sé rúllað er 1 af 6. Til að gera þetta auðveldara að skrifa niður munum við skrifa brotið (1/6) sem aukastaf með reiknivél: 0,167. Skrifaðu þessar líkur við hverja niðurstöðu, sérstaklega ef þú vilt leysa vandamál með ólíkindum fyrir hverja niðurstöðu.
   • 1/6 reiknivélin þín gæti búið til eitthvað eins og 0.166667. Við hringjum þetta í 0,167 til að auðvelda reikninginn án þess að fórna nákvæmni.
   • Ef þú vilt fá mjög nákvæma niðurstöðu skaltu ekki gera það að aukastaf, bara slá 1/6 í formúluna og reikna hana á reiknivélinni þinni.
4. Skráðu gildi hverrar niðurstöðu. Margfaldaðu $ niðurstöðu með líkum á að niðurstaðan muni eiga sér stað til að reikna út hversu mikla peninga sú niðurstaða mun leggja til vænt verðmætis. Til dæmis er niðurstaðan af því að rúlla 1 er - $ 10 og líkurnar á því að rúlla 1 er 0,167. Gildið að henda 1 er því (-10) * (0,167).
   • Það er engin þörf á að reikna þessar niðurstöður núna ef þú ert með reiknivél sem getur framkvæmt margar aðgerðir samtímis. Þú færð nákvæmari niðurstöðu ef þú slærð inn alla jöfnuna.
5. Bættu við gildi hverrar niðurstöðu til að fá vænt gildi á viðburði. Til að halda áfram með dæmið hér að ofan er væntingargildi teningaleiksins: (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (10 * 0,167) + (20 * 0,167), eða - 1,67 €. Svo þú getur búist við að tapa $ 1,67 í hvert skipti á þessum leik (á leik).
6. Hver eru afleiðingar þess að reikna út vænt gildi. Í dæminu hér að ofan ákváðum við að væntanlegur hagnaður (tap) yrði - € 1,67 á kast. Þetta er ómöguleg niðurstaða í 1 leik; þú getur tapað 10 €, unnið 10 € eða unnið 20 €. En til lengri tíma litið er væntanlegt gildi gagnlegar, meðallíkur. Ef þú heldur áfram að spila þennan leik taparðu að meðaltali um $ 1,67 á leik. Önnur leið til að hugsa um vænt gildi er með því að úthluta ákveðnum kostnaði (eða ávinningi) í leikinn; þú ættir aðeins að spila þennan leik ef þér finnst það þess virði, njóttu þess nóg til að eyða $ 1,67 í hann í hvert skipti.
   • Því oftar sem aðstæður eru endurteknar, því nákvæmara er væntanlegt gildi framsetning raunverulegrar meðaltals niðurstöðu. Til dæmis, kannski spilarðu leikinn 5 sinnum í röð og tapar í hvert skipti, sem leiðir til að meðaltali tapar $ 10. Hins vegar, ef þú spilar leikinn 1000 sinnum í viðbót, mun meðalútkoman koma nær og nær væntu gildi - 1,67 € á leik. Þessi meginregla er kölluð „lögmál fjöldans“.

Aðferð 2 af 3: Reiknaðu vænt gildi fyrir ákveðna niðurstöðu

1. Notaðu þessa aðferð til að reikna út meðalfjölda mynta sem þú þarft að velta áður en tiltekið mynstur á sér stað. Til dæmis er hægt að nota aðferðina til að finna út væntanlegan fjölda mynta sem flettir þar til þú ert með haus tvisvar í röð. Þetta vandamál er svolítið erfiðara en venjulegt vandamál varðandi væntingargildi, svo lestu ofangreindan hluta þessarar greinar fyrst ef þú þekkir ekki hugtakið væntingargildi.
2. Segjum að við séum að leita að gildi x. Þú ert að reyna að ákvarða hversu mörg mynt þú verður að velta að meðaltali til að fá tvö höfuð í röð. Við gerum nú samanburð til að finna svarið. Við köllum svarið sem við erum að leita að x. Við gerum nauðsynlegan samanburð skref fyrir skref. Við höfum sem stendur eftirfarandi:
   • x = ___
3. Hugsaðu um hvað gerist ef fyrsta flippið framleiðir mynt. Þetta mun vera raunin í helmingi tilvika. Ef þetta er raunin hefurðu „sóað“ veltingunni á meðan tækifæri til að velta haus tvisvar í röð hefur ekki breyst. Eins og með myntakastið er búist við að þú þurfir að kasta að meðaltali nokkrum sinnum áður en þú færð höfuð tvisvar í röð. Með öðrum orðum, þú gætir búist við að rúlla x sinnum, auk þeirra sem þú hefur þegar spilað. Í formi jöfnu:
   • x = (0,5) (x + 1) + ___
   • Við ætlum að fylla tómt rýmið þegar við höldum áfram að hugsa um aðrar aðstæður.
   • Þú getur notað brot í stað aukastafa ef það er auðveldara eða nauðsynlegt.
4. Hugsaðu um hvað gerist þegar þú kastar höfðinu. Það eru 0,5 (eða 1/2) líkur á að þú kastir bolla í fyrsta skipti. Þetta virðist nær því markmiði að kasta haus tvisvar í röð, en hversu mikið? Auðveldasta leiðin til að komast að því er að hugsa um valkosti þína á annarri veltu:
   • Ef annað kastið er mynt erum við aftur komin að upphafinu.
   • Ef annað skiptið er líka bolli, þá erum við búin!
5. Lærðu hvernig á að reikna út líkurnar á að tveir atburðir verði báðir. Við vitum núna að þú ert með 50% líkur á að þú hendir bolla, en hverjar eru líkurnar á því að þú hendir bolla tvisvar í röð? Til að reikna þessar líkur, margfaldaðu líkurnar á báðum. Í þessu tilfelli er það 0,5 x 0,5 = 0,25. Auðvitað eru þetta líka líkurnar á því að þú veltir hausum og síðan hala, því þeir eiga báðir möguleika á 0,5 að eiga sér stað: 0,5 x 0,5 = 0,25.
6. Bættu niðurstöðunni fyrir „haus, þá hala“ við jöfnuna. Nú þegar við höfum reiknað út líkurnar á að þessi atburður eigi sér stað getum við farið að stækka jöfnuna. Það eru 0,25 (eða 1/4) líkur á að við eyðum kasti tvisvar án þess að halda áfram. En núna þurfum við samt x fjölda fleiri kasta að meðaltali til að ná þeim árangri sem við viljum fá, plús þau 2 sem við höfum þegar hent. Í jöfnuformi verður þetta (0,25) (x + 2), sem við getum nú bætt við jöfnuna:
   • x = (0,5) (x + 1) + (0,25) (x + 2) + ___
7. Bættu niðurstöðunni fyrir „fyrirsögn, fyrirsögn“ við jöfnuna. Ef þú veltir höfði, höfuð með fyrstu tveimur kastunum af myntunum, þá ertu búinn. Þú náðir niðurstöðunni í nákvæmlega 2 köstum. Eins og við tókum fram áðan eru 0,25 líkur á því að þetta gerist, þannig að jöfnan fyrir þetta er (0,25) (2). Okkar samanburði er nú lokið:
   • x = (0,5) (x + 1) + (0,25) (x + 2) + (0,25) (2)
   • Ef þú ert ekki viss um að þú hafir hugsað allar mögulegar aðstæður, þá er auðveld leið til að athuga hvort jöfnu sé lokið. Fyrsta talan í hverjum hluta jöfnunnar táknar líkurnar á að atburður eigi sér stað. Þetta mun alltaf vera allt að 1. Hér, 0,5 + 0,25 + 0,25 = 1, svo við vitum að við höfum tekið með allar aðstæður.
8. Einfaldaðu jöfnuna. Gerum jöfnuna aðeins auðveldari með því að margfalda okkur. Mundu að ef þú sérð eitthvað í sviga eins og þetta: (0.5) (x + 1) margfaldarðu 0,5 með hverju hugtaki sem er í öðru sviðinu. Þetta gefur þér eftirfarandi: 0,5x + (0,5) (1) eða 0,5x + 0,5. Gerum þetta fyrir hvert hugtak í jöfnunni, sameinum síðan þessi hugtök þannig að þetta lítur allt aðeins einfaldara út:
   • x = 0,5x + (0,5) (1) + 0,25x + (0,25) (2) + (0,25) (2)
   • x = 0,5x + 0,5 + 0,25x + 0,5 + 0,5
   • x = 0,75x + 1,5
9. Leysa fyrir x. Eins og í hverri jöfnu þarftu að einangra x á annarri hlið jöfnunnar til að reikna það. Mundu að x þýðir "meðalfjöldi mynta sem þú þarft að kasta til að fá höfuð tvisvar í röð." Þegar við höfum reiknað x höfum við líka fundið svarið okkar.
   • x = 0,75x + 1,5
   • x - 0,75x = 0,75x + 1,5 - 0,75x
   • 0,25x = 1,5
   • (0,25x) / (0,25) = (1,5) / (0,25)
   • x = 6
   • Að meðaltali verður þú að kasta mynt 6 sinnum áður en þú kastar haus tvisvar.

Aðferð 3 af 3: Skiljið hugtakið

1. Hvað er vænt gildi í raun. Væntingargildið er ekki endilega augljósasta eða rökréttasta niðurstaðan. Stundum getur væntingargildi jafnvel verið ómögulegt gildi í tilteknum aðstæðum. Til dæmis getur væntingargildið verið + € 5 fyrir leik með verðlaun ekki meira en € 10. Það sem væntingargildið gefur til kynna er hversu mikið gildi tiltekinn atburður hefur. Ef leikur hefur áætlað gildi + € 5, þá geturðu spilað það ef þér finnst það vera tímans og peninganna virði sem þú getur fengið í hverjum leik. Ef annar leikur hefur væntanlegt gildi - $ 20, þá spilarðu hann aðeins ef þér finnst hver leikur vera $ 20 virði.
2. Skilja hugtakið sjálfstæðir atburðir. Í daglegu lífi telja mörg okkar að við eigum heppinn dag þegar sumir góðir hlutir gerast og við reiknum með að restin af deginum fari þá leið.Á sama hátt getum við haldið að við höfum fengið nóg af slysi og að eitthvað skemmtilegt þurfi virkilega að gera núna. Stærðfræðilega ganga hlutirnir ekki þannig. Ef þú hendir venjulegri mynt eru nákvæmlega sömu líkur á að þú kastir höfði eða mynt. Það skiptir ekki máli hversu oft þú hefur þegar kastað; næst þegar þú kastar virkar það samt á sama hátt. Myntkastið er „óháð“ hinum kastunum, það hefur ekki áhrif á það.
   • Trúin á að þú getir verið heppinn eða óheppinn þegar þú hendir myntum (eða einhverjum öðrum leik) eða Sú staðreynd að öllu óheppni þínu er nú lokið og heppnin er þér megin kallast líka svindlari fjárhættuspilara (eða villuleiki fjárhættuspilara). Þetta hefur að gera með tilhneigingu fólks til að taka áhættusamar eða heimskulegar ákvarðanir þegar það telur að heppni sé þeirra megin, eða ef það finnur fyrir „heppni rák“ eða ef þeim finnst „heppni þeirra er að snúast.“
3. Skilja lögmál fjöldans. Þú gætir haldið að væntingargildið sé í raun ekki gagnlegt, því það segir þér aðeins sjaldan hver raunveruleg niðurstaða aðstæðna er. Ef þú hefur reiknað út að væntanlegt gildi rúllettuleiks sé - € 1, og þú spilar leikinn 3 sinnum, þá endar venjulega með - € 10, eða + € 60, eða einhver önnur niðurstaða. „Lögmál stórra talna“ hjálpar til við að útskýra hvers vegna væntingargildið er gagnlegra en þú gætir haldið: því meira sem þú spilar, því nær væntingargildinu verður meðalútkoman. Þegar þú horfir á fjölda atburða eru góðar líkur á að lokaniðurstaðan sé nálægt væntu gildi.

Ábendingar

• Í þeim aðstæðum þar sem margar niðurstöður eru mögulegar er hægt að búa til töflureikni í tölvunni til að reikna út vænt gildi með því að nota niðurstöðurnar og líkur þeirra.
• € útreikningarnir hér að ofan virka einnig í öðrum gjaldmiðlum.

Nauðsynjar

• Blýantur
• Pappír
• Reiknivél