Efni.

• Að stíga
• Aðferð 1 af 3: Nota staðgönguaðferðina
• Aðferð 2 af 3: Notaðu brotthvarfsaðferðina
• Aðferð 3 af 3: Grafið jöfnurnar
• Ábendingar
• Viðvaranir

Í „jöfnukerfi“ ertu beðinn um að leysa tvær eða fleiri jöfnur samtímis. Þegar þetta tvennt inniheldur mismunandi breytur, svo sem x og y, eða a og b, getur verið erfitt við fyrstu sýn að sjá hvernig á að leysa þær. Sem betur fer, þegar þú veist hvað þú átt að gera, þarftu aðeins grunnþekkingu í stærðfræði (og stundum smáþekkingu) til að leysa vandamálið. Ef þess er krafist eða ef þú ert sjónrænn námsmaður skaltu læra að grafa jöfnurnar líka. Að grafa (teikna) línurit getur verið gagnlegt til að „sjá hvað er að gerast,“ eða til að athuga vinnuna þína, en það getur líka verið hægari en aðrar aðferðir og það virkar ekki með öllum jöfnukerfum.

Að stíga

Aðferð 1 af 3: Nota staðgönguaðferðina

1. Færðu breyturnar á mismunandi hliðar jöfnunnar. Þessi "staðgöngu" aðferð byrjar með því að "leysa fyrir x" (eða hvaða breytu sem er) í einni af jöfnunum. Til dæmis höfum við eftirfarandi jöfnur: 4x + 2y = 8 og 5x + 3x = 9. Í fyrsta lagi skoðum við fyrsta samanburðinn. Raðaðu upp með því að draga 2y frá hvorri hlið og þá færðu: 4x = 8-2y.
   • Þessi aðferð notar oft brot á síðari stigum. Þú getur líka notað brotthvarfsaðferðina hér að neðan ef þú vilt ekki vinna með brot.
2. Skiptu báðum hliðum jöfnunnar til að leysa fyrir „x“. Þegar þú hefur hugtakið x (eða hvaða breytu sem þú notar) á annarri hliðinni á jöfnunni skaltu deila báðum hliðum jöfnunnar til að einangra breytuna. Til dæmis:
   • 4x = 8-2y
   • (4x) / 4 = (8/4) - (2 ár / 4)
   • x = 2 - ½á
3. Tengdu þetta aftur í hina jöfnuna. Vertu viss um að fara aftur í Aðrir samanburður, ekki sá sem þú hefur þegar notað. Í þeirri jöfnu skiptir þú út breytunni sem þú leystir og skilur aðeins eftir eina breytu. Til dæmis:
   • Þú veist það núna: x = 2 - ½á.
   • Önnur jöfnan, sem þú hefur ekki breytt enn, er: 5x + 3x = 9.
   • Í annarri jöfnunni, skiptu um x með „2 - ½y“: 5 (2 - ½y) + 3y = 9.
4. Leysa fyrir þá breytu sem eftir er. Þú hefur nú jöfnu með aðeins einni breytu. Notaðu algengar algebruaðferðir til að leysa fyrir þessa breytu. Ef breyturnar hætta við hvor aðra, hoppaðu yfir á síðasta skrefið. Annars endar þú með svari við einni af breytunum þínum:
   • 5 (2 - ½y) + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Ef þú skilur ekki þetta skref, lærðu hvernig á að bæta við brotum. Þetta er oft, en ekki alltaf, nauðsynlegt með þessari aðferð).
   • 10 + ½y = 9
   • ½y = -1
   • y = -2
5. Notaðu svarið til að leysa hina breytuna. Ekki gera þau mistök að klára vandamálið hálfa leið. Þú verður að slá svarið sem þú fékkst aftur inn í eina af upphaflegu jöfnunum svo þú getir leyst fyrir hina breytuna:
   • Þú veist það núna: y = -2
   • Ein af upphaflegu jöfnunum er: 4x + 2y = 8. (Hægt er að nota báðar jöfnurnar í þessu skrefi).
   • Tengdu -2 í staðinn fyrir y: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4x - 4 = 8
   • 4x = 12
   • x = 3
6. Vita hvað ég á að gera ef báðar breyturnar hætta við hvor aðra. Þegar þér x = 3y + 2 eða fáðu svipað svar í hinni jöfnunni, þú ert að reyna að fá jöfnu með aðeins einni breytu. Stundum endar þú með jöfnu í staðinn án breytur. Athugaðu verkið þitt tvöfalt og vertu viss um að skipta út fyrstu endurjöfnunni í annarri jöfnunni en ekki fyrstu jöfnu. Ef þú ert viss um að þú hafir ekki gert nein mistök færðu eina af eftirfarandi niðurstöðum:
   • Ef þú endar með jöfnu án breytu og sem er ekki satt (t.d. 3 = 5), þá hefur þú vandamálið engin lausn. (Ef þú hefur teiknað jöfnurnar muntu sjá að þær eru samsíða og skerast aldrei).
   • Ef þú endar með jöfnu án breytna, en þær jæja er satt (til dæmis 3 = 3), þá hefur það vandamálið óendanlegur fjöldi lausna. Jöfnurnar tvær eru nákvæmlega jafnar. (Ef þú teiknar línurnar tvær muntu sjá að þær skarast nákvæmlega).

Aðferð 2 af 3: Notaðu brotthvarfsaðferðina

1. Ákvarðar breytuna sem á að útrýma. Stundum munu jöfnurnar „útrýma“ hver annarri í breytu um leið og þú bætir þeim saman. Til dæmis þegar þú gerir jöfnurnar 3x + 2y = 11 og 5x - 2y = 13 sameinar, "+ 2y" og "-2y" hætta við hvort annað, með öllu "ys er útrýmt úr jöfnunni. Horfðu á jöfnurnar í þínu vandamáli til að komast að því hvort einhverjum af breytunum verður eytt á þennan hátt. Ef engin breytanna er útrýmt skaltu lesa áfram til næsta skrefs til að fá ráð.
2. Margfaldaðu jöfnu til að hætta við breytu. (Slepptu þessu skrefi ef breyturnar hafa þegar útrýmt hvor annarri). Ef engin af breytunum í jöfnunum fellur út af sjálfu sér, þá verður þú að breyta einni af jöfnunum þannig að hún geri það. Þetta er auðveldast að skilja með dæmi:
   • Segjum að þú hafir jöfnukerfið 3x - y = 3 og -x + 2y = 4.
   • Breytum fyrstu jöfnunni þannig að breytan sé y er útrýmt. (Þú getur líka gert þetta fyrir X gera og fá sama svar).
   • The - y " fyrstu jöfnunnar ætti að útrýma með + 2ár Í annarri jöfnu. Við getum gert þetta með því að - y margfaldaðu með 2.
   • Við margföldum báðar hliðar fyrstu jöfnunnar með 2, sem hér segir: 2 (3x - y) = 2 (3), Og þannig 6x - 2y = 6. Nú mun - 2 ár falla í burtu gegn + 2ár í annarri jöfnu.
3. Sameina jöfnurnar tvær. Til að geta sameinað tvær jöfnur skaltu bæta vinstri og hægri hlið saman. Ef þú hefur skrifað jöfnuna rétt ætti ein breytan að hætta við hin. Hér er dæmi um sömu jöfnur og síðasta skrefið:
   • Jöfnur þínar eru: 6x - 2y = 6 og -x + 2y = 4.
   • Sameina vinstri hliðar: 6x - 2y - x + 2y =?
   • Sameina hægri hliðar: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. Leysa fyrir síðustu breytuna. Einfaldaðu samanlögðu jöfnuna og notaðu síðan grunn algebru til að leysa síðustu breytuna. Ef engar breytur eru eftir eftir einföldun skaltu halda áfram að síðasta skrefi í þessum kafla. Annars ættirðu að enda með einföldu svari við einni breytu þinni. Til dæmis:
   • Þú hefur: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
   • Flokkaðu breyturnar X og y með hvort öðru: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
   • Einfalda: 5x = 10
   • Leysa fyrir x: (5x) / 5 = 10/5, svo að x = 2.
5. Leysa fyrir aðrar breytur. Þú hefur fundið eina breytu en þú ert ekki alveg búinn ennþá. Skiptu svari þínu út í einni af upphaflegu jöfnum svo að þú getir leyst hina breytuna. Til dæmis:
   • Þú veist það x = 2, og þessi ein af upphaflegu jöfnum þínum 3x - y = 3 er.
   • Tengdu 2 í staðinn fyrir x: 3 (2) - y = 3.
   • Leysið y í jöfnunni: 6 - y = 3
   • 6 - y + y = 3 + y, svo 6 = 3 + y
   • 3 = y
6. Vita hvað ég á að gera þegar báðar breyturnar hætta við hvor aðra. Stundum er það að sameina tvær jöfnur með jöfnu sem hefur enga merkingu eða hjálpar þér ekki að leysa vandamálið. Athugaðu verk þín frá upphafi tvisvar, en ef þú gerðir ekki mistök skaltu skrifa niður eitt af eftirfarandi svörum:
   • Ef samanlögð jöfna þín hefur engar breytur og er ekki sönn (eins og 2 = 7) þá er það engin lausn sem gildir fyrir báðar jöfnurnar. (Ef þú teiknar báðar jöfnurnar, sérðu að þær eru samsíða og skerast aldrei).
   • Ef samanlögð jöfna þín hefur engar breytur og er sönn (svo sem 0 = 0), þá eru það óendanlegur fjöldi lausna. Tvær jöfnurnar eru í raun eins. (Ef þú setur þetta í línurit muntu sjá að þau skarast alveg hvort annað).

Aðferð 3 af 3: Grafið jöfnurnar

1. Notaðu aðeins þessa aðferð þegar hún er tilgreind. Nema þú notar tölvu eða grafreiknivél er aðeins hægt að leysa mörg jöfnukerfi með því að nota þessa aðferð. Kennarinn þinn eða kennslubók í stærðfræði gæti beðið þig um að nota þessa aðferð, svo þú þekkir líklega myndrænar jöfnur eins og línur. Þú getur líka notað þessa aðferð til að athuga hvort svör þín frá einhverjum af öðrum aðferðum séu rétt.
   • Grunnhugmyndin er að þú grafir báðar jöfnurnar og ákvarðar punktinn þar sem þær skerast. Gildin x og y á þessum tímapunkti gefa gildi x og gildi y í jöfnukerfinu.
2. Leysið báðar jöfnurnar fyrir y. Hafðu jöfnurnar tvær aðskildar og notaðu algebru til að umbreyta hverri jöfnu í formið „y = __x + __“. Til dæmis:
   • Fyrsta jöfnan er: 2x + y = 5. Breyttu þessu í: y = -2x + 5.
   • Önnur jöfnan er: -3x + 6y = 0. Breyttu þessu í 6y = 3x + 0, og einfalda til y = ½x + 0.
   • Eru báðar jöfnurnar eins, þá verður öll línan „gatnamót“. Skrifaðu: óendanlegar lausnir.
3. Teiknið hnitakerfi. Teiknið lóðréttan „y-ás“ og láréttan „x-ás“ á blað af línuriti. Byrjaðu á þeim stað þar sem línurnar skerast og merktu tölurnar 1, 2, 3, 4 osfrv upp á y-ásinn og rétt aftur meðfram x-ásnum. Merktu tölurnar -1, -2 osfrv meðfram y-ásnum niður og til vinstri meðfram x-ásnum.
   • Ef þú ert ekki með línurit skaltu nota reglustiku til að ganga úr skugga um að tölurnar séu jafnar.
   • Ef þú ert að nota stóra tölur eða aukastafi gætirðu þurft að stækka töfluna. (Til dæmis 10, 20, 30 eða 0,1, 0,2, 0,3 í stað 1, 2, 3).
4. Teiknið y gatnamótin fyrir hverja línu. Þegar þú ert með jöfnu í forminu y = __x + __ þú getur byrjað að grafa það með því að setja upp punkt þar sem línan hlerar y-ásinn. Þetta er alltaf á y gildi, jafnt og síðasta talan í þessari jöfnu.
   • Í áður nefndum dæmum er ein lína (y = -2x + 5) inn á y-ásinn 5. Hin línan (y = ½x + 0) fer í gegnum núllpunktinn 0. (Þetta eru punktar (0,5) og (0,0) á línuritinu).
   • Tilgreindu hverja línu með mismunandi lit, ef mögulegt er.
5. Notaðu brekkuna til að halda áfram að teikna línurnar. Í forminu y = __x + __, er talan fyrir x þ halla utan línu. Í hvert skipti sem x er aukið um eitt, mun y gildi hækka með gildi halla. Notaðu þessar upplýsingar til að finna punktinn á línuritinu fyrir hverja línu þegar x = 1. (Einnig, setjið í stað x = 1 fyrir hverja jöfnu og leysið fyrir y).
   • Í dæminu okkar hefur línan y = -2x + 5 halla af -2. Við x = 1 lækkar línan 2 niður frá punktinum x = 0. Teiknið línulínuna á milli (0,5) og (1,3).
   • Reglan y = ½x + 0hefur halla af ½. Við x = 1 fer línan ½ upp frá punktinum x = 0. Teiknið línulínuna á milli (0,0) og (1, ½).
   • Þegar línurnar hafa sömu halla línurnar skerast aldrei, svo það er engin lausn fyrir jöfnukerfið. Skrifaðu: engin lausn.
6. Haltu áfram að skipuleggja línurnar þar til þær skerast. Hættu og skoðaðu töfluna þína. Ef línurnar hafa þegar farið yfir hvor aðra skaltu fara yfir í næsta skref. Annars tekur þú ákvörðun út frá því sem línurnar gera:
   • Þegar línurnar hreyfast hver að annarri heldurðu áfram að teikna stig í þá átt.
   • Ef línurnar eru að fjarlægjast hvor aðra skaltu fara til baka og draga punkta í hina áttina og byrja á x = -1.
   • Ef línurnar eru hvergi nálægt hverri annarri skaltu stökkva fram og teikna lengri punkta, svo sem x = 10.
7. Finndu svarið við gatnamót línanna. Þegar línurnar tvær skerast eru gildin x og y á þeim tímapunkti lausnin á vandamálinu. Ef þú ert heppinn verður svarið heiltala. Til dæmis, í dæmunum okkar, skerast línurnar tvær (2,1) svo er þitt svar x = 2 og y = 1. Í sumum jöfnukerfum skerast línurnar við gildi á milli tveggja heiltala, og nema línurit þitt sé mjög nákvæmt, þá verður erfitt að segja til um hvar þetta er. Ef þetta er raunin geturðu gefið svar eins og: "x er á milli 1 og 2". Þú getur líka notað staðgönguaðferðina eða brotthvarfsaðferðina til að finna nákvæmlega svarið.

Ábendingar

• Þú getur athugað verk þín með því að færa svörin aftur inn í upphaflegu jöfnurnar. Ef jöfnurnar eru sannar (til dæmis 3 = 3), þá er svar þitt rétt.
• Í brotthvarfsaðferðinni þarftu stundum að margfalda jöfnu með neikvæðri tölu til að útrýma breytu.

Viðvaranir

• Ekki er hægt að nota þessar aðferðir ef þú ert að fást við máttunúmer, svo sem x. Til að læra meira um jöfnur af þessu tagi þarftu leiðbeiningar um þáttaferninga með tveimur breytum.