Efni.

• Skref
• Ráð

Hraði er skilgreindur sem hraði hlutar í tiltekna átt. Í mörgum tilfellum notum við jöfnuna v = s / t til að finna hraðann, þar sem v er hraðinn, s er heildarfjarlægð tilfærslu hlutarins frá upphaflegri stöðu og t er sá tími sem það tekur fyrir hlutinn að ferðast. fara alla leið. En fræðilega er þessi formúla aðeins til fyrir hraðann miðlungs hlutanna á leiðinni. Með því að reikna út hraða hlutarins á hverju augnabliki meðfram fjarlægðinni. Það er Samgöngutími og er skilgreint með jöfnunni v = (ds) / (dt), eða með öðrum orðum, það er afleiða jöfnunnar fyrir meðalhraða.

Skref

Hluti 1 af 3: Reiknið augnablikshraða

1. 

   
   
   Byrjaðu á jöfnu til að reikna út hraða eftir tilfærslufjarlægð. Til að finna augnablikshraða verðum við fyrst að hafa jöfnu sem gefur til kynna stöðu hlutarins (miðað við tilfærslu) á hverjum tíma. Það þýðir að jöfnan verður að hafa aðeins eina breytu S öðrum megin og snúið við t Hinum megin (ekki endilega aðeins ein breyta), svona:
   

   s = -1,5t + 10t + 4

   • Í þessari jöfnu eru breyturnar:

     s = tilfærsla. Fjarlægðin sem hluturinn færðist frá upphaflegri stöðu. Til dæmis, ef hlutur getur gengið 10 metra áfram og 7 metra aftur á bak, er heildarferðalengd hans 10 - 7 = 3 metrar (ekki 10 + 7 = 17m).

     t = tími. Þessi breyta er einföld án skýringa, venjulega mæld í sekúndum.

2. 

   
   
   Taktu afleiðu jöfnunnar. Afleiða jöfnunnar er önnur jöfnu sem sýnir halla fjarlægðarinnar á tilteknum tíma. Til að finna afleiðu jöfnunnar eftir tilfærslufjarlægð, taktu mismun mismun fallsins samkvæmt eftirfarandi almennri reglu til að reikna afleiðuna: Ef y = a * x, afleiða = a * n * x. Þetta á við um öll hugtök „t“ hliðar jöfnunnar.
   • Með öðrum orðum, byrjaðu að fá mismuninn frá vinstri til hægri á "t" hlið jöfnunnar. Alltaf þegar þú lendir í breytunni „t“ dregurðu veldisvísirinn frá 1 og margfaldar hugtakið með upphaflega veldisvísinum. Öll stöðug hugtök (hugtök án „t“) hverfa vegna þess að þau eru margfölduð með 0. Ferlið er í raun ekki eins erfitt og þú gætir haldið - tökum jöfnuna í ofangreindu skrefi sem dæmi:
     

     s = -1,5t + 10t + 4
     (2) -1,5t + (1) 10t + (0) 4t
     -3t + 10t
     -3t + 10

     
     

3. 

   Skiptu um „s“ fyrir „ds / dt“. Til að sýna að nýja jöfnan er afleiða upphaflega ferningsins, skiptum við „s“ út fyrir táknið „ds / dt“. Fræðilega séð er þessi táknun „afleiða s hvað varðar t“. Einfaldari leið til að skilja þessa táknun, ds / dt er halli hvers punktar í upphafsjöfnu. Til dæmis, til að finna halla fjarlægðarinnar sem lýst er með jöfnu s = -1,5t + 10t + 4 á tíma t = 5, setjum við „5“ í stað afleiðu jöfnunnar.
   • Í dæminu hér að ofan lítur afleiða jöfnunnar svona út:
     

     ds / dt = -3t + 10

4. 

   Skiptu út gildi fyrir t í nýju jöfnunni til að finna augnablikshraða. Nú þegar við höfum afleiðujöfnuna er mjög auðvelt að finna augnablikshraða á hverju augnabliki. Allt sem þú þarft að gera er að velja t-gildi og skipta því út fyrir afleiðujöfnuna. Til dæmis, ef við viljum finna augnablikshraða við t = 5, verðum við bara að skipta „5“ út fyrir t í afleiddu jöfnu ds / dt = -3t + 10. Við munum leysa jöfnuna svona:
   

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 metrar / sekúndu

   • Athugið að við notum eininguna „metrar / sekúndu“ hér að ofan.Þar sem við erum að leysa vandamálið með tilfærslu í metrum og tíma í sekúndum, þar sem hraðinn er nákvæmlega tilfærslan í tíma, hentar þessi eining.
   auglýsing

Hluti 2 af 3: Mat á augnablikshraða á myndrænan hátt

1. 

   Grafið hreyfifjarlægð hlutarins með tímanum. Í ofangreindum kafla sögðum við að afleiðan sé einnig formúla sem gerir okkur kleift að finna hallann hvenær sem er í jöfnunni sem tekin er af afleiðunni. Reyndar, ef þú sýnir hreyfifjarlægð hlutarins á línuriti, Halli grafsins hvenær sem er er augnablikshraði hlutarins á þeim tímapunkti.
   • Til að teikna hreyfifjarlægðir, notaðu x-ásinn fyrir tíma og y-ásinn fyrir tilfærslu. Þú ákvarðar síðan fjölda punkta með því að stinga gildum t í hreyfingarjöfnuna, niðurstaðan er s gildi og punktar punktana t, s (x, y) á línuritinu.
   • Athugaðu að línuritið getur náð út fyrir x-ásinn. Ef línan sem sýnir hreyfingu hlutarins fer niður x-ásinn þýðir þetta að hluturinn hreyfist afturábak frá upphaflegri stöðu. Almennt mun línuritið ekki ná út fyrir y-ásinn - við mælum venjulega ekki hraðann á hlutum sem hreyfast aftur í tímann!

2. 

   Veldu punkt P og punkt Q staðsett nálægt punkti P á línuritinu. Til að finna halla línuritsins við punkt P notum við tæknina „að finna takmörk“. Að finna mörk þýðir að taka tvö stig (P og Q (punktur nálægt P)) á ferlinum og finna halla línunnar sem tengir þessa tvo punkta og endurtaka þetta ferli þegar fjarlægðin milli P og Q styttist. smám saman.
   • Gerðu ráð fyrir að tilfærsla fjarlægðin hafi stig (1; 3) og (4; 7). Í þessu tilfelli, ef við viljum finna hallann við (1; 3) þá getum við stillt (1; 3) = P og (4; 7) = Q.

3. 

   Finndu hallann á milli P og Q. Hallinn á milli P og Q er mismunur y gildanna fyrir P og Q yfir mismun x gildanna fyrir P og Q. Með öðrum orðum, H = (y_Sp - y_P) / (x_Sp - x_P), þar sem H er hallinn á milli tveggja punkta. Í þessu dæmi er hallinn á milli P og Q:
   

   H = (y_Sp - y_P) / (x_Sp - x_P)
   H = (7 - 3) / (4 - 1)
   H = (4) / (3) = 1,33

4. 

   Endurtaktu margoft með því að færa Q nær P. Markmiðið er að þrengja bilið milli P og Q þar til þeir ná einu stigi. Því minni sem fjarlægðin milli P og Q er, því nær mun halli óendanlega litla hlutans vera halla við punktinn P. Endurtaktu nokkrum sinnum fyrir jöfnuna okkar með því að nota punkta (2; 4 , 8), (1.5; 3.95) og (1.25; 3.49) gefa Q og upphafshnit P eru (1; 3):
   

   Q = (2; 4.8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
   H = (1,8) / (1) = 1,8
   
   Q = (1,5; 3,95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
   H = (0,95) / (0,5) = 1,9
   
   Q = (1,25; 3,49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
   H = (0,49) / (0,25) = 1,96

5. 

   Áætlar halla afar litla hlutans á línuritinu. Þegar Q nær og nær P mun H smám saman komast nær halla við P. Að lokum, við mjög litla línu, verður H hallinn við P. Vegna þess að við getum ekki mælt eða reiknað Lengd línu er ákaflega lítil, svo áætlaðu aðeins hallann við P þegar hún sést vel frá þeim punktum sem við reiknum.
   • Í dæminu hér að ofan, þegar við færum H nær P, höfum við gildin fyrir H 1,8; 1.9 og 1.96. Þar sem þessar tölur eru að nálgast 2 getum við sagt 2 er áætlað gildi halla við P.
   • Mundu að hallinn hvenær sem er á línuritinu er afleiða línuritsins á þeim punkti. Þar sem línuritið táknar tilfærslu hlutar með tímanum, eins og við sáum í fyrri hlutanum, er augnablikshraði hans hvenær sem er afleiðan af tilfærslufjarlægð hlutarins við vandamálspunktinn. Aðgangur, getum við sagt 2 metrar / sek er áætlað áætlun um augnablikshraða þegar t = 1.
   auglýsing

Hluti 3 af 3: Dæmi um vandamál

1. 

   Finndu augnablikshraða þegar t = 1 með tilfærslujöfnunni s = 5t - 3t + 2t + 9. Eins og dæmið í fyrsta hlutanum en þetta er rúmmetra í stað fjórfalda, svo við getum leyst vandamálið á sama hátt.
   • Taktu fyrst afleiðuna af jöfnunni:
     

     s = 5t - 3t + 2t + 9
     s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
     15t - 6t + 2t - 6t + 2

   • Þá skiptum við gildi t (4) í:
     

     s = 15t - 6t + 2
     15(4) - 6(4) + 2
     15(16) - 6(4) + 2
     240 - 24 + 2 = 22 metrar á sekúndu

2. 

   Notaðu grafmatsaðferðina til að finna augnablikshraða við (1; 3) fyrir tilfærslujöfnuna s = 4t - t. Fyrir þetta vandamál notum við hnit (1; 3) sem punkt P, en við verðum að finna aðra Q punkta staðsett nálægt því. Þá þarf ekki annað en að finna H gildi og álykta áætlað gildi.
   • Í fyrsta lagi finnum við Q punkta þegar t = 2; 1,5; 1.1 og 1.01.
     

     s = 4t - t
     
     t = 2: s = 4 (2) - (2)
     4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, svo Q = (2; 14)
     
     t = 1,5: s = 4 (1,5) - (1,5)
     4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, svo Q = (1,5; 7,5)
     
     t = 1.1: s = 4 (1.1) - (1.1)
     4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, svo Q = (1,1; 3,74)
     
     t = 1.01: s = 4 (1,01) - (1,01)
     4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, svo að það er það Q = (1,01; 3,0704)

   • Næst munum við fá H gildi:
     

     Q = (2; 14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
     H = (11) / (1) = 11
     
     Q = (1,5; 7,5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
     H = (4,5) / (0,5) = 9
     
     Q = (1,1; 3,74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
     H = (0,74) / (0,1) = 7,3
     
     Q = (1,01; 3,0704): H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
     H = (0,0704) / (0,01) = 7,04

   • Þar sem H gildi virðast vera nær 7 getum við sagt það 7 metrar á sekúndu er áætlað áætlunarhraða við hnitið (1; 3).
   auglýsing

Ráð

• Til að finna hröðun (breyting á hraða með tímanum) skaltu nota aðferðina í fyrsta hluta til að fá afleiðu tilfærslujöfnunnar. Taktu síðan afleiðuna aftur fyrir afleiðujöfnuna sem þú varst að finna. Niðurstaðan er sú að þú hefur jöfnu fyrir hröðunina á tilteknum tímapunkti - það eina sem þú þarft að gera er að stinga tíma í.
• Jafnan sem sýnir samband Y (tilfærslu fjarlægð) og X (tíma) getur verið mjög einföld, þar sem Y = 6x + 3. Í þessu tilfelli er hallinn stöðugur og það er ekki nauðsynlegt að taka afleiðan til að reikna halla, það er, hún fylgir grunnjöfnuforminu Y = mx + b fyrir línulegt línurit, þ.e. hallinn er jafn 6.
• Færslufjarlægðin er eins og fjarlægðin en hefur stefnu, svo hún er vigurstærð og hraðinn er stærðarstærðin. Ferðalengdir geta verið neikvæðar en vegalengdir aðeins jákvæðar.