Efni.

• Bráðabirgðaupplýsingar
• Skref
• 1. hluti af 3: Grunnatriðin
• 2. hluti af 3: Eiginleikar Laplace umbreytingarinnar
• Hluti 3 af 3: Finna Laplace umbreytingu eftir stækkun seríu

Laplace umbreytingin er óaðskiljanlegur umbreyting sem er notuð til að leysa mismunadrif með stöðugum stuðlum. Þessi umbreyting er mikið notuð í eðlisfræði og verkfræði.

Þó að þú getir notað viðeigandi töflur, þá er gagnlegt að skilja Laplace umbreytinguna svo að þú getir gert það sjálfur ef þörf krefur.

Bráðabirgðaupplýsingar

• Gefin fall ${ displaystyle f (t)}$skilgreint fyrir ${ displaystyle t geq 0.}$ Þá Laplace umbreyting virka ${ displaystyle f (t)}$ er næsta fall hvers gildis ${ displaystyle s}$, þar sem heildin sameinast:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Laplace umbreytingin tekur fall frá t-svæðinu (tímamælikvarða) yfir í s-svæðið (umbreytingarsvæði), þar sem ${ displaystyle F (s)}$ er flókið fall flókinnar breytu. Það gerir þér kleift að færa aðgerðina á svæði þar sem auðveldara er að finna lausn.
• Augljóslega er Laplace umbreytingin línuleg rekstraraðili, þannig að ef við erum að fást við summu hugtaka er hægt að reikna út hverja heildina sérstaklega.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Mundu að Laplace umbreytingin virkar aðeins ef samþættingin kemur saman. Ef fallið ${ displaystyle f (t)}$ hefur ósamræmi, það er nauðsynlegt að vera varkár og setja rétt mörk samþættingar til að forðast óvissu.

Skref

1. hluti af 3: Grunnatriðin

1. 1 Settu fallið í Laplace umbreytingarformúluna. Fræðilega séð er auðvelt að reikna út Laplace umbreytingu falls. Sem dæmi skaltu íhuga aðgerðina ${ displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, hvar ${ displaystyle a}$ er flókinn fasti með ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Metið heildina með fyrirliggjandi aðferðum. Í dæminu okkar er matið mjög einfalt og þú kemst af með einföldum útreikningum. Í flóknari tilvikum getur verið þörf á flóknari aðferðum, til dæmis samþættingu með hlutum eða aðgreiningu undir heildstákninu. Þvingunarástand ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a)}$ þýðir að heildarhlutinn fer saman, það er að gildi hennar hefur tilhneigingu til 0 sem ${ displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {stillt}}}$
   • Athugið að þetta gefur okkur tvenns konar Laplace umbreytingu, með sinus og kósínus, enda samkvæmt uppskrift Eulers ${ displaystyle e ^ {iat}}$... Í þessu tilfelli, í nefnara sem við fáum ${ displaystyle s-ia,}$ og það er aðeins eftir að ákvarða raunverulega og ímyndaða hluta. Þú getur líka metið niðurstöðuna beint, en það myndi taka aðeins lengri tíma.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatorname {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 Íhugaðu Laplace umbreytingu kraftvirkni. Í fyrsta lagi þarftu að skilgreina umbreytingu aflvirkisins, þar sem línulegi eiginleikinn gerir þér kleift að finna umbreytinguna fyrir af öllu margliða. Fall af forminu ${ displaystyle t ^ {n},}$ hvar ${ displaystyle n}$ - hvaða jákvæða heiltölu sem er. Hægt að samþætta stykki fyrir stykki til að skilgreina endurtekna reglu.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Þessi niðurstaða kemur fram óbeint, en ef þú skiptir um nokkur gildi ${ displaystyle n,}$ þú getur komið á ákveðnu mynstri (reyndu að gera það sjálfur), sem gerir þér kleift að fá eftirfarandi niðurstöðu:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}}$
   • Þú getur einnig skilgreint Laplace umbreytingu brotakrafta með því að nota gammaaðgerðina. Til dæmis geturðu með þessum hætti fundið umbreytingu falls eins og ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • Þó að aðgerðir með brot í krafti hljóti að vera með niðurskurð (mundu eftir öllum flóknum tölum ${ displaystyle z}$ og ${ displaystyle alfa}$ er hægt að skrifa sem ${ displaystyle z ^ { alfa}}$, vegna þess að ${ displaystyle e ^ { alpha operatorname {Log} z}}$), er alltaf hægt að skilgreina þau þannig að niðurskurðurinn liggi í vinstra hálfplaninu og forðast þannig vandamál með greiningu.

2. hluti af 3: Eiginleikar Laplace umbreytingarinnar

1. 1 Við skulum finna Laplace umbreytingu fallsins margfaldað með eat{ displaystyle e ^ {at}}. Niðurstöðurnar sem fengust í fyrri hlutanum gerðu okkur kleift að finna út áhugaverða eiginleika Laplace umbreytingarinnar. Laplace umbreyting falla eins og kósínus, sinus og veldisvísis virka virðist vera einfaldari en afl fallbreytingarinnar. Margföldun með ${ displaystyle e ^ {at}}$ í t-svæðinu samsvarar vakt á s-svæðinu:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Þessi eign leyfir þér strax að finna umbreytingu aðgerða eins og ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, án þess að þurfa að reikna út heildina:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Við skulum finna Laplace umbreytingu fallsins margfaldað með tn{ displaystyle t ^ {n}}. Í fyrsta lagi skaltu íhuga margföldun með ${ displaystyle t}$... Samkvæmt skilgreiningu getur maður aðgreint fall undir heild og fengið furðu einfalda niðurstöðu:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partí} { að hluta s}} e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {align}}}$
   • Þegar þessi aðgerð er endurtekin fáum við lokaniðurstöðuna:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Þó að endurskipulagning rekstraraðila samþættingar og aðgreiningar krefst nokkurrar frekari rökstuðnings, munum við ekki kynna hana hér, heldur aðeins athuga að þessi aðgerð er rétt ef endanleg niðurstaða er skynsamleg. Þú getur líka tekið tillit til þess að breyturnar ${ displaystyle s}$ og ${ displaystyle t}$ ekki háð hvort öðru.
   • Með því að nota þessa reglu er auðvelt að finna umbreytingu aðgerða eins og ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, án sameiningar að hluta aftur:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Finndu Laplace umbreytingu fallsins f(at){ displaystyle f (hjá)}. Þetta er auðvelt að gera með því að skipta um breytuna fyrir u með því að nota skilgreininguna á umbreytingu:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F left ({ frac {s} {a}} right) end {align}}}$
   • Hér að ofan fundum við Laplace umbreytingu aðgerða ${ displaystyle sin at}$ og ${ displaystyle cos at}$ beint frá veldisvísisaðgerðinni. Með því að nota þessa eign geturðu fengið sömu niðurstöðu ef þú finnur raunverulega og ímyndaða hluta ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Finndu Laplace umbreytingu afleiðunnar f′(t){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. Ólíkt fyrri dæmunum, í þessu tilfelli verð samþætta stykki fyrir stykki:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {align}}}$
   • Þar sem önnur afleiðan kemur fyrir í mörgum líkamlegum vandamálum finnum við Laplace umbreytinguna fyrir hana líka:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • Í almenna tilfellinu er Laplace -umbreyting níundu röðunarafleiðunnar skilgreind sem hér segir (þetta leyfir lausn á mismunadreifum með Laplace -umbreytingu):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n -1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

Hluti 3 af 3: Finna Laplace umbreytingu eftir stækkun seríu

1. 1 Við skulum finna Laplace umbreytingu fyrir reglubundið fall. Reglubundna aðgerðin uppfyllir skilyrðin ${ displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ hvar ${ displaystyle T}$ er tímabil aðgerðarinnar og ${ displaystyle n}$ er jákvæð heil tala. Reglubundnar aðgerðir eru mikið notaðar í mörgum forritum, þar á meðal merkivinnslu og rafmagnsverkfræði. Með einföldum umbreytingum fáum við eftirfarandi niðurstöðu:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { stillt}}}$
   • Eins og þú sérð er það nægjanlegt að framkvæma Laplace umbreytingu í eitt tímabil þegar um reglubundna aðgerð er að ræða.
2. 2 Framkvæma Laplace umbreytingu fyrir náttúrulega logaritma. Í þessu tilfelli er ekki hægt að tjá heildina í formi grunnhlutverka. Með því að nota gammaaðgerðina og stækkun á röð geturðu metið náttúrulega logaritminn og gráður þess. Tilvist Euler-Mascheroni fastans ${ displaystyle gamma}$ sýnir að til að áætla þessa heild er nauðsynlegt að nota röð stækkun.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Íhugaðu Laplace umbreytingu hins ónormalíska sinc virka. Virkni ${ displaystyle operatorname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ mikið notað til merkisvinnslu, í mismunadreifingum jafngildir það kúlulaga Bessel falli af fyrstu gerð og núll röð ${ displaystyle j_ {0} (x).}$ Ekki er heldur hægt að reikna út Laplace umbreytingu þessarar aðgerðar með stöðluðum aðferðum. Í þessu tilviki er umbreyting einstakra liða í röðinni, sem eru kraftvirkni, framkvæmd, þannig að umbreytingar þeirra renna endilega saman á tilteknu bili.
   • Í fyrsta lagi skrifum við stækkun aðgerðarinnar í Taylor röð:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • Nú notum við þegar þekkt Laplace umbreytingu aflvirkni. Verksmiðjurnar falla niður og þar af leiðandi fáum við stækkun Taylor fyrir arctangent, það er skiptis röð sem líkist Taylor röð fyrir sinus, en án factorials:
     • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {align}}}$