Efni.

• Skref
• Aðferð 1 af 3: Hvernig á að leysa rúmmetra án fösts hugtaks
• Aðferð 2 af 3: Hvernig á að finna heilar rætur með margföldun
• Aðferð 3 af 3: Hvernig á að leysa jöfnu með því að nota mismunandann

Í rúmmetra jöfnu er hæsta veldisvísirinn 3, slík jöfnu hefur 3 rætur (lausnir) og hún hefur formið ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Sumar rúmmetrar eru ekki svo auðvelt að leysa, en ef þú notar rétta aðferðina (með góðan fræðilegan bakgrunn) geturðu fundið rætur jafnvel flóknustu rúmsjafna - til að nota þessa formúlu til að leysa fjórðungsjöfnu, finndu heilum rótum, eða reiknaðu mismununina.

Skref

Aðferð 1 af 3: Hvernig á að leysa rúmmetra án fösts hugtaks

1. 1 Finndu út hvort það er frjálst hugtak í rúmmetinu d{ displaystyle d}. Kúbujöfnan hefur formið ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Til að jöfnu verði talin rúmmetra nægir aðeins hugtakið ${ displaystyle x ^ {3}}$ (það er að það mega alls ekki vera aðrir meðlimir).
   • Ef jöfnan hefur frjálst hugtak ${ displaystyle d}$, nota aðra aðferð.
   • Ef í jöfnunni ${ displaystyle a = 0}$, það er ekki rúmmetra.
2. 2 Taktu úr svigunum x{ displaystyle x}. Þar sem ekkert frjálst hugtak er í jöfnunni inniheldur hvert hugtak í jöfnunni breytuna ${ displaystyle x}$... Þetta þýðir að einn ${ displaystyle x}$ er hægt að útiloka frá sviga til að einfalda jöfnuna. Þannig verður jöfnunin skrifuð svona: ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c)}$.
   • Til dæmis gefin rúmmetra ${ displaystyle 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • Taka út ${ displaystyle x}$ sviga og fá ${ displaystyle x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 Stuðull (afurð tveggja tvíliða) ferningsjafna (ef mögulegt er). Margar ferningajöfnur formsins ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ má stuðla að. Slík jöfnu mun koma í ljós ef við tökum út ${ displaystyle x}$ utan sviga. Í dæminu okkar:
   • Taktu úr svigunum ${ displaystyle x}$: ${ displaystyle x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • Þáttur ferningsjöfnunnar: ${ displaystyle x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • Líkja hverri tunnu við ${ displaystyle 0}$... Rætur þessarar jöfnu eru ${ displaystyle x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 Leysið ferningsjöfnu með sérstakri formúlu. Gerðu þetta ef ekki er hægt að taka þátt í fjórðungsjöfnu. Til að finna tvær rætur jöfnunnar, gildi stuðlanna ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ staðgengill í formúlunni ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • Í dæminu okkar, skiptu gildum stuðlanna í staðinn ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ (${ displaystyle 3}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle 14}$) í formúluna:

     ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • Fyrsta rótin:

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • Önnur rót:

     ${ displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 Notaðu núll og ferningsrætur sem lausnir á rúmmetra. Ferningajöfnur eiga sér tvær rætur en kúbíkur hafa þrjár. Þú hefur þegar fundið tvær lausnir - þetta eru rætur fjórðungsjöfnunnar. Ef þú setur „x“ utan sviga, þá væri þriðja lausnin ${ displaystyle 0}$.
   • Ef þú tekur „x“ úr sviga, þá færðu það ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c) = 0}$, það er tveir þættir: ${ displaystyle x}$ og fermetra jöfnu innan sviga. Ef einhver þessara þátta er ${ displaystyle 0}$, öll jöfnan er einnig jöfn ${ displaystyle 0}$.
   • Þannig eru tvær rætur ferningajöfnunnar lausnir á rúmtöfnu. Þriðja lausnin er ${ displaystyle x = 0}$.

Aðferð 2 af 3: Hvernig á að finna heilar rætur með margföldun

1. 1 Gakktu úr skugga um að það sé frjálst hugtak í rúmmetinu d{ displaystyle d}. Ef í jöfnu formsins ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ það er ókeypis meðlimur ${ displaystyle d}$ (sem er ekki jafnt og núll), það mun ekki virka að setja „x“ utan sviga. Í þessu tilfelli skaltu nota aðferðina sem lýst er í þessum hluta.
   • Til dæmis gefin rúmmetra ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$... Til að fá núll á hægri hlið jöfnunnar skaltu bæta við ${ displaystyle 6}$ báðum hliðum jöfnunnar.
   • Jafnan mun koma í ljós ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$... Eins og ${ displaystyle d = 6}$, ekki er hægt að nota aðferðina sem lýst er í fyrsta hlutanum.
2. 2 Skrifaðu niður þætti stuðilsins a{ displaystyle a} og ókeypis félagi d{ displaystyle d}. Það er að finna þætti tölunnar á ${ displaystyle x ^ {3}}$ og tölur fyrir jafntákn. Mundu að þættir tölu eru tölurnar sem, þegar þær eru margfaldaðar, framleiða þá tölu.
   • Til dæmis til að fá númerið 6, þú þarft að margfalda ${ displaystyle 6 sinnum 1}$ og ${ displaystyle 2 sinnum 3}$... Svo tölurnar 1, 2, 3, 6 eru þættir fjölda 6.
   • Í okkar jöfnu ${ displaystyle a = 2}$ og ${ displaystyle d = 6}$... Margfaldarar 2 eru 1 og 2... Margfaldarar 6 eru tölurnar 1, 2, 3 og 6.
3. 3 Skiptu hverjum þætti a{ displaystyle a} fyrir hvern þátt d{ displaystyle d}. Þar af leiðandi færðu mikið af brotum og nokkrar heiltölur; rætur rúmsjöfnunnar verða ein heiltölunnar eða neikvætt gildi einnar heiltölunnar.
   • Í dæminu okkar, skiptu þáttunum ${ displaystyle a}$ (1 og 2) eftir þáttum ${ displaystyle d}$ (1, 2, 3 og 6). Þú færð: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$ og ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$... Bættu nú neikvæðum gildum af fengnu brotunum og tölunum við þennan lista: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle -1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ og ${ displaystyle - { frac {2} {3}}}$... Allar rætur rúmmetrarinnar eru nokkrar tölur af þessum lista.
4. 4 Tengdu heiltölur inn í rúmmetrajöfnuna. Ef jafnréttið er satt, þá er staðgengillinn rót jöfnunnar. Til dæmis, staðgengill í jöfnunni ${ displaystyle 1}$:
   • ${ displaystyle 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ displaystyle 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0, það er, jafnrétti er ekki gætt. Í þessu tilfelli, tengdu næsta númer.
   • Varamaður ${ displaystyle -1}$: ${ displaystyle (-2) +9 +(- 13) +6}$ = 0. Þannig, ${ displaystyle -1}$ er öll rót jöfnunnar.
5. 5 Notaðu aðferðina til að deila margliða með Fyrirkomulag Hornersað finna rætur jöfnunnar hraðar. Gerðu þetta ef þú vilt ekki skipta tölum handvirkt inn í jöfnuna. Í kerfi Horners eru heiltölur deilt með gildum stuðla jöfnunnar ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ og ${ displaystyle d}$... Ef tölurnar eru jafnt deilanlegar (það er afgangurinn er ${ displaystyle 0}$), heiltala er rót jöfnunnar.
   • Fyrirkomulag Horners á skilið sérstaka grein, en eftirfarandi er dæmi um útreikning á einni af rótum rúmmetrajöfnunnar okkar með þessu kerfi:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • Svo er afgangurinn ${ displaystyle 0}$, en ${ displaystyle -1}$ er ein af rótum jöfnunnar.

Aðferð 3 af 3: Hvernig á að leysa jöfnu með því að nota mismunandann

1. 1 Skrifaðu niður gildi stuðla jöfnunnar a{ displaystyle a}, b{ displaystyle b}, c{ displaystyle c} og d{ displaystyle d}. Við mælum með að þú skrifir niður gildi tilgreindra stuðla fyrirfram til að ruglast ekki í framtíðinni.
   • Til dæmis, miðað við jöfnuna ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$... Skrifa niður ${ displaystyle a = 1}$, ${ displaystyle b = -3}$, ${ displaystyle c = 3}$ og ${ displaystyle d = -1}$... Muna að ef áður ${ displaystyle x}$ það er engin tala, samsvarandi stuðull er enn til og er jafn ${ displaystyle 1}$.
2. 2 Reiknaðu núll mismunun með sérstakri formúlu. Til að leysa rúmfræðilega jöfnu með mismununinni þarftu að framkvæma fjölda erfiðra útreikninga, en ef þú framkvæmir öll skrefin rétt verður þessi aðferð ómissandi til að leysa flóknustu rúmsjafna. Fyrsta reikning ${ displaystyle Delta _ {0}}$ (núll mismunun) er fyrsta gildið sem við þurfum; til að gera þetta skaltu skipta út samsvarandi gildum í formúlunni ${ displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • Mismunan er tala sem einkennir rætur margliða (til dæmis er mismunun ferningajöfnunnar reiknuð með formúlunni ${ displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • Í jöfnu okkar:

     ${ displaystyle b ^ {2} -3ac}$

     ${ displaystyle (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-9 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 Reiknaðu fyrsta mismununarmanninn með formúlunni Δ1=2b3−9abc+27a2d{ displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. Fyrst mismunun ${ displaystyle Delta _ {1}}$ - þetta er annað mikilvæga gildið; til að reikna það út skaltu stinga samsvarandi gildum í tilgreinda formúlu.
   • Í jöfnu okkar:

     ${ displaystyle 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ displaystyle 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ displaystyle -54 + 81-27}$

     ${ displaystyle 81-81 = 0 = Delta _ {1}}$

4. 4 Reikna:${ displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$... Það er að finna mismunun á rúmtölu jöfnu í gegnum fengin gildi ${ displaystyle Delta _ {0}}$ og ${ displaystyle Delta _ {1}}$... Ef mismunun á rúmtölu jöfnu er jákvæð, þá hefur jöfnan þrjár rætur; ef mismununarmaðurinn er núll, þá hefur jöfnan eina eða tvær rætur; ef mismununarmaðurinn er neikvæður hefur jöfnan eina rót.
   • Teningur hefur alltaf að minnsta kosti eina rót, þar sem línurit þessarar jöfnu sker X-ásinn að minnsta kosti á einum stað.
   • Í okkar jöfnu ${ displaystyle Delta _ {0}}$ og ${ displaystyle Delta _ {1}}$ eru jafnir ${ displaystyle 0}$, svo þú getur auðveldlega reiknað út ${ displaystyle Delta}$:

     ${ displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ displaystyle 0-0 div 27}$

     ${ displaystyle 0 = Delta}$... Þannig hefur jöfnu okkar eina eða tvær rætur.

5. 5 Reikna:${ displaystyle C = ^ {3} { sqrt { left ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } hægri) div 2}}}$. ${ displaystyle C}$ - þetta er síðasta mikilvæga magnið sem finnst; það mun hjálpa þér að reikna rætur jöfnunnar. Settu gildin í tilgreinda formúlu ${ displaystyle Delta _ {1}}$ og ${ displaystyle Delta _ {0}}$.
   • Í jöfnu okkar:

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ displaystyle 0 = C}$

6. 6 Finndu þrjár rætur jöfnunnar. Gerðu það með formúlunni ${ displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, hvar ${ displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, en n er jafnt og 1, 2 eða 3... Settu viðeigandi gildi í þessa formúlu - þar af leiðandi færðu þrjár rætur jöfnunnar.
   • Reiknaðu gildið með formúlunni á n = 1, 2 eða 3og athugaðu síðan svarið. Ef þú færð 0 þegar þú athugar svarið þitt, þá er þetta gildi rót jöfnunnar.
   • Í dæminu okkar, staðgengill 1 í ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$ og fá 0, þ.e. 1 er ein af rótum jöfnunnar.