Hvernig á að skipta fylkjum

Efni.

Stutt samantekt
Skref
1. hluti af 3: Prófun á deilanleika fylkja
Hluti 2 af 3: Finndu andhverfu fylkið
3. hluti af 3: Matrix margföldun
Ábendingar
Viðvaranir
Viðbótargreinar

Ef þú veist hvernig á að margfalda tvo fylki geturðu byrjað að „deila“ fylkjunum. Orðið „skipting“ er innifalið í gæsalöppum, því að í raun er ekki hægt að skipta fylkjum. Skiptingaraðgerðinni er skipt út fyrir að margfalda eina fylki með fylki sem er andhverfa seinni fylkisins. Til einföldunar skaltu íhuga dæmi með heilum tölum: 10 ÷ 5. Finndu gagnkvæmt 5: 5 eða /₅, og skiptu síðan skiptingu með margföldun: 10 x 5; afleiðing skiptingar og margföldunar verður sú sama. Þess vegna er talið að skipta megi skiptingu með margföldun með öfugu fylkinu. Venjulega eru slíkir útreikningar notaðir til að leysa kerfi línulegra jöfnna.

Stutt samantekt

Þú getur ekki skipt fylkjum. Í stað þess að deila er eitt fylki margfaldað með öfugri seinni fylkisins. „Skipting“ tveggja fylkja [A] ÷ [B] er skrifuð þannig: [A] * [B] eða [B] * [A].
Ef fylki [B] er ekki ferhyrnt, eða ef ákvarðandi þess er 0, skrifaðu niður „enga ótvíræða lausn“. Að öðrum kosti, finndu ákvarðandi fylkisins [B] og farðu í næsta skref.
Finndu andhverfuna: [B].
Margfaldaðu fylki til að finna [A] * [B] eða [B] * [A]. Hafðu í huga að röðin sem fylkjum er margfölduð hefur áhrif á lokaniðurstöðuna (það er, niðurstöðurnar geta verið mismunandi).

Skref

1. hluti af 3: Prófun á deilanleika fylkja

1 Skilja "skiptingu" fylkja. Í raun er ekki hægt að skipta fylkjum. Það er engin stærðfræðileg aðgerð til að „deila einu fylki með öðru“. Skiptingu er skipt út fyrir að margfalda eina fylki með öfugri seinni fylkisins. Það er að merkingin [A] ÷ [B] er ekki rétt, svo henni er skipt út fyrir eftirfarandi merkingu: [A] * [B]. Þar sem báðar færslur eru jafngildar þegar um skalstig er að ræða getum við fræðilega talað um „skiptingu“ fylkja, en það er samt betra að nota rétta hugtökið.
- Athugið að [A] * [B] og [B] * [A] eru mismunandi aðgerðir. Það getur verið nauðsynlegt að framkvæma báðar aðgerðirnar til að finna allar mögulegar lausnir.
- Til dæmis, í staðinn fyrir ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ skrifa niður ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$ .
  Þú gætir þurft að reikna ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$ að fá aðra niðurstöðu.
2 Gakktu úr skugga um að fylkið sem þú ert að „deila“ hinu fylkinu með sé ferhyrnt. Til að snúa fylki við (finna andhverfu fylkis) verður það að vera ferkantað, það er með sama fjölda lína og dálka. Ef öfuga fylkið er ekki öfugt er engin ákveðin lausn.
- Aftur, fylkin eru ekki „deilanleg“ hér. Í aðgerð [A] * [B] vísar lýst ástand til fylkisins [B]. Í dæmi okkar vísar þetta ástand til fylkisins ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
- Fylki sem hægt er að snúa við er kallað órýrnað eða reglulegt. Fylki sem ekki er hægt að snúa við er kallað úrkynja eða eintölu.
3 Athugaðu hvort hægt sé að margfalda fylkin tvö. Til að margfalda tvær fylki verður fjöldi dálka í fyrsta fylkinu að vera jafn fjöldi lína í seinni fylkinu. Ef þetta skilyrði er ekki uppfyllt í færslunni [A] * [B] eða [B] * [A] er engin lausn.
- Til dæmis, ef stærð fylkisins [A] er 4 x 3 og stærð fylkisins [B] er 2 x 2, þá er engin lausn. Þú getur ekki margfaldað [A] * [B] vegna þess að 4 ≠ 2, og þú getur ekki margfaldað [B] * [A] vegna þess að 2 ≠ 3.
- Athugið að andhverfa fylkið [B] hefur alltaf jafn marga línur og dálka og upphaflega fylkið [B]. Það er ekki nauðsynlegt að finna öfuga fylkið til að athuga hvort hægt sé að margfalda tvo fylki.
- Í okkar dæmi er stærð beggja fylkja 2 x 2, þannig að hægt er að margfalda þau í hvaða röð sem er.
4 Finndu ákvörðunarefni 2 × 2 fylkisins. Mundu: þú getur aðeins snúið við fylki ef ákvarðandi þess er ekki núll (annars geturðu ekki snúið við fylkinu). Svona finnur þú ákvarðandi 2 x 2 fylkis:
- 2 x 2 fylki: ákvarðandi fylkis ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ er jöfn ad - bc. Það er, frá afurð þátta aðalskáhyrningsins (fer í gegnum efra vinstra og neðra hægra hornið), dragið frá afurðir þáttanna í hinum skánum (fer í gegnum efra hægra og neðra vinstra hornið).
- Til dæmis ákvarðandi fylkisins ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ er jafnt og (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. Ákvörðunarrétturinn er núlllaus, þannig að hægt er að snúa þessari fylki við.
5 Finndu ákvarðandi stærri fylkisins. Ef stærð fylkisins er 3 x 3 eða meira er ákvarðandinn örlítið erfiðari að reikna út.
- 3 x 3 fylki: veljið hvaða atriði sem er og strikið yfir línuna og dálkinn sem það er í.Finndu ákvarðandi 2 × 2 fylkisins sem myndast og margfaldaðu það síðan með völdum frumefni; tilgreindu merki ákvörðunarefnisins í sérstakri töflu. Endurtaktu þetta ferli fyrir hin tvö atriðin sem eru í sömu röð eða dálki og hluturinn sem þú valdir. Finndu síðan summu (þriggja) ákvarðana sem berast. Lestu þessa grein til að fá frekari upplýsingar um hvernig á að finna ákvarðandi fyrir 3 x 3 fylki.
- Stór fylki: Best er að ákvarða slíka fylki með grafreiknivél eða hugbúnaði. Aðferðin er svipuð og aðferðin til að finna ákvarðandi 3 × 3 fylkis, en frekar leiðinlegt að beita henni handvirkt. Til dæmis, til að finna ákvörðunarefni 4 x 4 fylkis, þarftu að finna ákvarðanir fjögurra 3 x 3 fylkja.
6 Halda áfram útreikningum. Ef fylkið er ekki ferkantað eða ef ákvörðunarefni þess er jafnt og núll, skrifaðu „enga ótvíræða lausn“, það er að útreikningsferlinu er lokið. Ef fylkið er ferhyrnt og hefur ekki núllákvörðun, slepptu því í næsta kafla.

Hluti 2 af 3: Finndu andhverfu fylkið

1 Skiptu um þætti í aðalská 2 x 2 fylkisins. Miðað við 2 × 2 fylki, notaðu fljótlegu öfugu aðferðina. Skiptu fyrst um hlutinn efst til vinstri og neðst til hægri. Til dæmis:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
- Athugið: flestir nota reiknivélar til að snúa við 3 x 3 (eða stærri) fylki. Ef þú þarft að gera þetta handvirkt, farðu í lok þessa kafla.
2 Skiptu ekki um tvo þætti sem eftir eru, en breyttu merki þeirra. Það er, margfalda efst til hægri og neðst til vinstri með -1:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3 Finndu gagnkvæmt ákvarðandi. Ákvarðandi þessa fylki fannst í fyrri hlutanum, svo við munum ekki reikna það aftur. Andhverfa ákvörðunarefnisins er skrifuð þannig: 1 / (ákvarðandi):
- Í dæminu okkar er ákvarðanatakan 13. Andstætt gildi: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$ .
4 Margfaldaðu fylkið sem myndast með gagnkvæmu ákvörðunarefninu. Margfaldið hvern þátt í nýju fylkinu með öfugri ákvörðunarefnisins. Endanleg fylki verður andhverfa upprunalegu 2 x 2 fylkisins:
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
  = ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} og { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} og { frac {7 } {13}} enda {pmatrix}}}$
5 Athugaðu hvort útreikningar séu réttir. Til að gera þetta, margfalda upprunalega fylkið með öfugri. Ef útreikningarnir eru réttir mun afurð upprunalegu fylkisins með öfugri gefa auðkenni fylkisins: (1001){ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}... Ef prófið heppnaðist skaltu halda áfram í næsta hluta.
- Í dæminu okkar: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} og { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} og { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$ .
- Fyrir frekari upplýsingar um hvernig á að margfalda fylki, lestu þessa grein.
- Athugið: rekstur fylkis margföldunar er ekki commutative, það er að röð fylkja er mikilvæg. En þegar upprunalega fylkið er margfaldað með andhverfu þess leiðir hvaða röð sem er til auðkennis fylkisins.
6 Finndu andhverfu 3 x 3 fylki (eða stærri). Ef þú þekkir þetta ferli nú þegar er betra að nota grafreiknivél eða sérstakan hugbúnað. Ef þú þarft að finna öfuga fylkið handvirkt er ferlinu lýst stuttlega hér að neðan:
- Taktu þátt í auðkenni fylkis I á hægri hlið upprunalegu fylkisins. Til dæmis, [B] → [B | Ég]. Fyrir auðkenni fylkisins eru allir þættir aðalskásins jafnir 1 og allir aðrir þættir jafnir 0.
- Einfaldaðu fylkið þannig að vinstri hlið þess verði stigin; haltu áfram að einfalda þannig að vinstri hliðin verði auðkenni fylkisins.
- Eftir einföldun mun fylkið hafa eftirfarandi form: [I | B]. Það er að hægri hlið hennar er andhverfa upphaflega fylkisins.

3. hluti af 3: Matrix margföldun

1 Skrifaðu niður tvö möguleg orðasambönd. Aðgerðin við að margfalda tvo stigstærð er commutative, það er 2 x 6 = 6 x 2.Þetta er ekki raunin þegar um fylkismargföldun er að ræða, svo þú gætir þurft að leysa tvö orðasambönd:
- x = [A] * [B] er lausnin á jöfnunni x[B] = [A].
- x = [B] * [A] er lausnin á jöfnu [B]x = [A].
- Framkvæmdu hverja stærðfræðiaðgerð beggja vegna jöfnunnar. Ef [A] = [C] þá [B] [A] ≠ [C] [B] vegna þess að [B] er vinstra megin við [A] en hægra megin við [C].
2 Ákveðið stærð endanlega fylkisins. Stærð lokafylkisins fer eftir stærð margföldu fylkisins. Fjöldi lína í lokafylkinu er jafn fjöldi lína í fyrsta fylkinu og fjöldi dálka í lokafylkinu er jafnfjöldi dálka í seinni fylkinu.
- Í dæminu okkar, stærð beggja fylkja ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ og ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} og { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} og { frac {7 } {13}} enda {pmatrix}}}$ er 2 x 2, þannig að stærð upprunalega fylkisins verður 2 x 2.
- Lítum á flóknara dæmi: ef stærð fylkisins [A] er 4 x 3, og stærð fylkisins [B] er 3 x 3, þá verður síðasta fylkið [A] * [B] 4 x 3.
3 Finndu gildi fyrsta frumefnisins. Lestu þessa grein eða mundu eftir eftirfarandi grundvallarskrefum:
- Til að finna fyrsta frumefnið (fyrstu röðina, fyrsta dálkinn) í síðasta fylkinu [A] [B], reiknaðu punktafurð frumefnanna í fyrstu röðinni af fylkinu [A] og frumefnin í fyrsta dálkinum í fylkinu [B ]. Ef um er að ræða 2 x 2 fylki er punktafurðin reiknuð út á eftirfarandi hátt: ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- Í dæminu okkar: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} og { frac {7} {13}} enda {pmatrix}}}$ ... Þannig verður fyrsti þátturinn í lokafylkinu frumefnið:
  ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
  ${ displaystyle = 3 + -4}$
  ${ displaystyle = -1}$
4 Haldið áfram að reikna punktavörur til að finna hvern þátt lokamatrixsins. Til dæmis er frumefnið sem er staðsett í annarri röðinni og fyrsta dálkinum jafnt og punktafurðin í annarri röð fylkisins [A] og fyrsta dálkinum í fylkinu [B]. Reyndu að finna hlutina sem eftir eru sjálfur. Þú ættir að fá eftirfarandi niðurstöður:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} og { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 enda {pmatrix}}}$
- Ef þú þarft að finna aðra lausn: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} og { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} og { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 enda {pmatrix}}}$

Ábendingar

Hægt er að skipta fylkinu í stigstærð; fyrir þetta er hverjum þætti fylkisins deilt með stigstærð.
- Til dæmis ef fylkið ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ deilt með 2, þú færð fylkið ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

Viðvaranir

Reiknivélin gefur ekki alltaf alveg nákvæmar niðurstöður þegar kemur að fylkisútreikningum. Til dæmis, ef reiknivélin heldur því fram að hluturinn sé mjög lítill tala (eins og 2E), þá er gildið líklegast núll.