Efni.

• Skref
• Ráð

Ef þú ert stærðfræðingur eða grafískur forritari verðurðu líklega að finna hornið á milli tveggja gefinna vektora. Í þessari grein sýnir wikiHow þér hvernig á að gera einmitt það.

Skref

Hluti 1 af 2: Finndu hornið á milli tveggja vigra

1. 

   Vigur skilgreining. Skrifaðu niður allar upplýsingar varðandi þessa tvo vektora sem þú hefur. Segjum að þú hafir aðeins tilgreindar breytur víddar hnitanna (einnig kallaðir íhlutir). Ef þú veist nú þegar lengd (stærðargráðu) vigursins geturðu sleppt nokkrum af skrefunum hér að neðan.
   • Dæmi: Tvívíður vigur = (2,2) og tvívíður vigur = (0,3). Þeir geta líka verið skrifaðir sem = 2ég + 2j og = 0ég + 3j = 3j.
   • Þrátt fyrir að tvívíðir vektorar séu notaðir í dæminu í þessari grein geta eftirfarandi leiðbeiningar átt við um vektor með hvaða fjölda sem er.

2. 

   
   
   Skrifaðu niður kósínus formúluna. Til að finna hornið θ milli tveggja vektora byrjum við á formúlunni til að finna kósínusinn fyrir það horn. Þú getur lært um þessa formúlu hér að neðan eða einfaldlega skrifað hana svona:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| þýðir „lengd vigurins“.
   • • er stigstærð afurða tveggja vektoranna - þetta verður útskýrt hér að neðan.

3. 

   
   
   Reiknið lengd hverrar vigur. Ímyndaðu þér að hægri þríhyrningur samanstendur af x, y hlutum vigurins og vigurinn sjálfur. Vigurinn myndar lágþrýsting þríhyrningsins, svo til að finna lengd hans notum við Pythagorean-setninguna. Reyndar er auðvelt að framlengja þessa formúlu til að fá vektor af hvaða stærð sem er.
   • || u || = u₁ + u₂. Ef vigur hefur fleiri en tvo þætti þarftu bara að halda áfram að bæta við + u₃ + u₄ +...
   • Þess vegna, fyrir tvívíddar vektor, || u || = √ (u₁ + u₂).
   • Í þessu dæmi, |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Reiknið skalaframleiðslu tveggja vektora. Kannski þú hafir lært aðferðina við margföldun, einnig þekkt sem hreistur þetta. Til að reikna út skalavöruna miðað við samsetningu þeirra, margföldu innihaldsefnin í hvora átt saman og bætið síðan allri niðurstöðunni saman.
   • Fyrir grafíkforritið, vinsamlegast vísaðu til Ábendingar áður en þú lest frekar.
   • Í stærðfræði • = u₁v₁ + u₂v₂, þar, u = (u₁, u₂). Ef vigurinn hefur fleiri en tvo þætti, einfaldlega bætið við + u₃v₃ + u₄v₄...
   • Í þessu dæmi er • = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Þetta er stigstærð afurðar vigursins og vigurinn.

5. 

   Settu niðurstöðurnar í formúluna. Mundu að cosθ = (•) / (|||| || ||). Nú vitum við bæði stærðarafurðina og lengd hverrar vigur. Sláðu þessar inn í formúluna til að reikna út kósínus hornsins.
   • Í dæminu okkar er cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Finndu hornið byggt á kósínusinu. Þú getur notað eldfimi eða cos aðgerðina í reiknivél til að finna θ út frá þekktu cos gildi. Með sumum niðurstöðum gætirðu fundið hornið miðað við einingahringinn.
   • Í dæminu er cosθ = √2 / 2. Sláðu inn „arccos (√2 ​​/ 2)“ í reiknivélina þína til að finna hornið. Eða, þú getur fundið horn θ á einingahringnum, við stöðu cosθ = √2 / 2. Það er satt fyrir θ = /₄ eða 45º.
   • Þegar allt er sameinað er lokaformúlan: horn θ = arkkósín ((•) / (|||| || ||))
   auglýsing

2. hluti af 2: Ákvörðun á hornformúlu

1. 

   Skilja tilgang formúlunnar. Þessi formúla var ekki fengin frá gildandi reglum. Þess í stað er það myndað sem skilgreining á skalaframleiðslu og horninu á tveimur vektorunum. Þrátt fyrir það var þetta ekki handahófskennd ákvörðun. Ef við snúum aftur að grunn rúmfræði, getum við skilið hvers vegna þessi formúla veitir innsæi og gagnlegar skilgreiningar.
   • Dæmin hér að neðan nota tvívíða vigra vegna þess að þeir eru auðveldastir að skilja og einfaldastir. Þrívíddar eða fleiri vektorar hafa eiginleika sem eru skilgreindir með næstum svipuðum almennum formúlum.

2. 

   Farðu yfir setningu Cosine. Lítum á venjulegan þríhyrning með horn θ milli hliða a og b, gagnstæða hliðar c. The Cosine Setning segir að c = a + b -2abcos(θ). Þessi niðurstaða er dregin einfaldlega úr grunn rúmfræði.

3. 

   Tengdu saman tvo vigra og myndaðu þríhyrning. Teiknið par tvívíðra vektora á pappír, vektora og vektora, þar sem θ er hornið á milli þeirra. Teiknið þriðja vigurinn á milli þessara tveggja til að búa til þríhyrning. Teiknið með öðrum orðum vektor þannig að + =. Vektor = -.

4. 

   Skrifaðu Cosine setninguna fyrir þennan þríhyrning. Settu hliðarlengd "vigurþríhyrningsins" okkar í Cosine setninguna:
   • || (a - b) || = || a || + || b || - 2 || a || || b ||cos(θ)

5. 

   Endurskrifaðu með stigstærð. Mundu að skalaframleiðsla er mynd af einum vektor á hinni. Stigstærð framleiðsluferils með sjálfum sér krefst engrar vörpunar, því hér er enginn munur á stefnu. Það þýðir • = || a ||. Með því að endurskrifa jöfnuna:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||cos(θ)

6. 

   Endurskrifaði sömu formúlu. Stækkaðu vinstri hlið formúlunnar og einfaldaðu síðan til að venja formúluna til að finna horn.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b ||cos(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b ||cos(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||cos(θ)
   • • = || a || || b ||cos(θ)
   auglýsing

Ráð

• Til að breyta gildum og leysa vandamálið fljótt skaltu nota þessa formúlu fyrir hvaða par sem er í tvívíddinni: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√ (u₁ • u₂) • √ (v₁ • v₂)).
• Ef þú ert að vinna með tölvugrafíkhugbúnað, þá eru líkurnar á að þú þurfir aðeins að hugsa um vigurvíddina án þess að hafa áhyggjur af lengd þeirra. Notaðu eftirfarandi skref til að stytta jöfnu og flýta forritinu:
  • Stöðluðu hverja vigur svo að þeir séu jafnir og 1. Til að gera þetta skaltu deila hverjum íhluti vigursins eftir lengd hans.
  • Fáðu eðlilega vöru af stigstærðinni í stað upprunalega vigurins.
  • Þar sem lengdin er 1 getum við útilokað lengdarþætti frá jöfnunni. Að lokum er hornjöfnan sem fæst arcoco (•).
• Byggt á kósínusformúlunni getum við fljótt ákvarðað hvort sjónarhornið er skarpt eða mjótt. Byrjaðu á cosθ = (•) / (|||| ||||):
  • Vinstri og hægri hlið jöfnunnar verður að hafa sama tákn (jákvætt eða neikvætt).
  • Þar sem lengdin er alltaf jákvæð, þá verður cos the að hafa sama tákn og skalastærðin.
  • Þess vegna, ef varan er jákvæð, þá er cosθ einnig jákvæð. Við erum í fyrsta fjórðungi einingahringsins, með θ <π / 2 eða 90º. Sjónarhornið er skarpt.
  • Ef skalavöran er neikvæð er cosθ neikvætt. Við erum í öðrum fjórðungi einingahringsins, með π / 2 <θ ≤ π eða 90º <θ ≤ 180º. Það er fangelsishornið.