Efni.

• Að stíga
• Aðferð 1 af 2: Rótardráttur með frumþáttum
• Aðferð 2 af 2: Að finna kvaðratrætur án reiknivélar
• Með langri skiptingu
• Skilja málsmeðferðina
• Ábendingar
• Viðvaranir

Áður en reiknivélar komu til sögunnar þurftu bæði nemendur og prófessorar að reikna ferningsrætur með penna og pappír. Ýmsar aðferðir voru þróaðar á þeim tíma til að takast á við þetta stundum erfiða starf, sumar gefa gróft mat og aðrar reikna nákvæmlega gildi. Lestu áfram til að læra að finna kvaðratrót tölu í nokkrum einföldum skrefum.

Að stíga

Aðferð 1 af 2: Rótardráttur með frumþáttum

1. Skiptu númerinu þínu í aflþætti. Þessi aðferð notar þætti tölunnar til að finna kvaðratrót tölu (það getur verið nákvæm svar eða áætlun, háð fjölda). The þættir tiltekinnar tölu eru hvaða töluröð sem er margfölduð saman til að mynda þá tilteknu tölu. Til dæmis er hægt að segja að þættirnir 8 séu jafnir 2 og 4 vegna þess að 2 × 4 = 8. Fullkomnir ferningar eru aftur á móti heiltölur sem eru afurð annarra heiltala. Til dæmis eru 25, 36 og 49 fullkomnir ferningar vegna þess að þeir eru jafnir 5, 6 og 7. Í öðru lagi máttarstuðlar, eins og þú munt hafa skilið, eru þættir sem eru líka fullkomnir ferningar. Til að finna kvaðratrót með frumþáttum, reyndu fyrst að skipta tölunni í aðra aflþætti hennar.
   • Tökum eftirfarandi dæmi. Við ætlum að finna kvaðratrótina 400. Til að byrja með skiptum við fjölda í aflþætti. Þar sem 400 er margfeldi af 100, vitum við að það er jafnt deilanlegt með 25 - fullkomið ferningur. Fljótur rót segir okkur að 400/25 = 16,16 gerist líka að vera fullkominn ferningur. Svo teningarþættirnir 400 eru 25 og 16 vegna þess að 25 × 16 = 400.
   • Við skrifum þetta sem: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2. Taktu ferningsrætur seinni aflþáttanna þinna. Vöruregla kvaðratrótar segir að fyrir hvaða tölu sem er a og b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Vegna þessa eiginleika getum við nú tekið ferningsrætur ferningaþáttanna og margfaldað þá saman til að fá svarið.
   • Í dæminu okkar tökum við kvaðratrætur 25 og 16. Sjá hér að neðan:
     • Sqrt (25 × 16)
     • Sqrt (25) × Sqrt (16)
     • 5 × 4 = 20
3. Ef ekki er hægt að reikna númerið þitt fullkomlega upp, einfaldaðu það. Í raun og veru eru tölurnar sem þú vilt ákvarða ferningsrætur ekki fallegar ávalar tölur með fallegum ferningum eins og 400. Í þessum tilvikum er ekki víst að hægt sé að fá heila tölu sem svarið. Í staðinn, með því að nota alla kraftaþætti sem þú getur fundið, geturðu ákvarðað svarið sem smærri og auðveldari ferningsrót. Þú gerir þetta með því að fækka í blöndu aflþátta og annarra þátta og einfalda það síðan.
   • Við tökum kvaðratrótina af 147 sem dæmi. 147 er ekki afurð tveggja fullkominna ferninga, þannig að við getum ekki fengið fallegt heiltölugildi. En það er afurð fullkomins fernings og annarrar tölu - 49 og 3. Við getum notað þessar upplýsingar til að skrifa svar okkar á einfaldasta hátt:
     • Sqrt (147)
     • = Sqrt (49 × 3)
     • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
     • = 7 × Sqrt (3)
4. Einfaldaðu, ef nauðsyn krefur. Með því að nota kvaðratrótina í einföldustu skilmálum er venjulega nokkuð auðvelt að fá gróft mat á svarinu með því að áætla eftirstöðvar rótanna og margfalda þær. Ein leið til að bæta ágiskanir þínar er að finna fullkomna ferninga hvoru megin við töluna í ferningsrótinni þinni. Þú veist að aukastafur tölunnar í kvaðratrótinni er einhvers staðar á milli þessara tveggja talna, svo að ágiskun þín verður líka að vera á milli þessara talna.
   • Víkjum aftur að dæminu. Þar sem 2 = 4 og 1 = 1 vitum við að Sqrt (3) er á milli 1 og 2 - líklega nær 2 en 1. Við áætlum að 1,7. 7 × 1,7 = 11,9. Ef við athugum þetta með reiknivélinni sjáum við að við erum ansi nálægt svarinu: 12,13.
     • Þetta virkar líka fyrir stærri tölurnar. Til dæmis er sqrt (35) nokkurn veginn á milli 5 og 6 (líklega nær 6). 5 = 25 og 6 = 36,35 er á milli 25 og 36, þannig að kvaðratrótin verður á milli 5 og 6. Þar sem 35 er rétt undir 36 getum við sagt með vissu öryggi að kvaðratrót þess bara er minna en 6. Athugun með reiknivél gefur okkur svar um 5,92 - við höfðum rétt fyrir okkur.
5. Einnig, sem fyrsta skref, geturðu einfaldað töluna í síst algeng margfeldi. Að leita að aflþáttum er ekki nauðsynlegt ef þú finnur auðveldlega frumþætti tölu (þættir sem eru einnig frumtölur á sama tíma). Skrifaðu töluna sem minnst algeng margfeldi. Leitaðu síðan milli þátta þinna að samsvörun frumtala. Þegar þú finnur tvo frumþætti sem passa saman skaltu fjarlægja þá úr ferningsrótinni og setja a af þessum tölum utan kvaðratrótarmerkisins.
   • Til dæmis ákvarðum við ferningsrót 45 með þessari aðferð. Við vitum að 45 = 9 × 5 og að 9 = 3 × 3. Þannig að við getum skrifað ferningsrótina svona: Sqrt (3 × 3 × 5). Eyddu einfaldlega 3 og settu 3 fyrir utan ferningsrótina til að fá einfaldaða ferningsrót: (3) Sqrt (5). Nú geturðu auðveldlega gert áætlun.
   • Lokadæmi; við ákvarðum kvaðratrót 88:
     • Sqrt (88)
     • = Sqrt (2 × 44)
     • = Sqrt (2 × 4 × 11)
     • = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). Við höfum nokkrar 2 í kvaðratrótinni. Þar sem 2 er aðal, getum við fjarlægt par og sett 2 fyrir utan rótina.
     • = Kvadratrótin okkar í einföldu máli er (2) Sqrt (2 × 11) eða (2) Sqrt (2) Sqrt (11). Nú getum við nálgast Sqrt (2) og Sqrt (11) og fundið áætlað svar, ef við vildum.

Aðferð 2 af 2: Að finna kvaðratrætur án reiknivélar

Með langri skiptingu

1. Skiptu tölustöfum númersins í pör. Þessi aðferð er svipuð og löng skipting, sem gerir þér kleift að skipta nákvæmlega kvaðratrót tölu tölustaf fyrir staf. Þó að það sé ekki nauðsynlegt getur það auðveldað lausnina að brjóta tölu í nothæfa hluti, sérstaklega ef hún er löng. Teiknið fyrst lóðrétta línu sem deilir vinnusvæðinu í 2 svæði, síðan styttri línu nálægt toppi hægra svæðisins og deilir því í minni efri hluta og stærri hluta fyrir neðan. Skiptu síðan tölunni í pör af tölum og byrjaðu á aukastafnum. Undir þessari reglu verður 79520789182.47897 „7 95 20 78 91 82,47 89 70“. Skrifaðu þessa tölu efst til vinstri.
   • Sem dæmi skulum við reikna ferningsrótina 780,14. Skiptu vinnusvæðinu þínu eins og að ofan og skrifaðu „7 80, 14“ efst í vinstra horninu. Það er allt í lagi ef það er aðeins ein tala lengst til vinstri, í stað tveggja. Þú skrifar síðan svarið (kvaðratrót 780,14) efst á hægra svæði.
2. Finndu stærstu heiltöluna n sem veldi er minna en eða jafnt og tölustafur eða tala vinstra megin. Finndu stærsta ferninginn sem er minni en eða jafn og þessi tala, og finndu þá ferningsrót þessa fernings. Þessi tala er n. Skrifaðu það efst til hægri og skrifaðu ferning n í neðsta fjórðungi þess svæðis.
   • Í dæminu okkar er talan vinstri vinstri tölan 7. Þar sem við vitum að 2 = 4 ≤ 7 3 = 9, getum við sagt að n = 2 vegna þess að þetta er stærsta heiltala sem ferningur er minni en eða jafnt og 7. Skrifaðu 2 efst í hægra fjórðungi. Þetta er fyrsta tölustafurinn í svarinu. Skrifaðu 4 (ferninginn af 2) í neðra hægra fjórðungnum. Þessi tala er mikilvæg fyrir næsta skref.
3. Dragðu frá töluna sem þú reiknaðir út af vinstri tölunni eða tölunni. Eins og með langskiptingu er næsta skref að draga ferninginn frá þeirri tölu sem við notuðum nýlega við útreikninginn. Skrifaðu þessa tölu undir vinstri tölunni og dragðu þær frá. Skrifaðu svarið hér að neðan.
   • Í dæminu okkar skrifum við 4 undir 7 og drögum hann frá. Þetta gefur 3 sem svar.
4. Færðu næstu tölu niður. Settu þetta við hliðina á gildinu sem þú fannst í fyrri breytingu. Margfaldaðu töluna efst til hægri með tveimur og skrifaðu hana neðst til hægri. Leyfðu plássi við hliðina á númerinu sem þú skrifaðir upp fyrir upphæðina sem þú gerir í næsta skrefi. Skrifaðu hér "_ × _ =" ".
   • Í dæminu okkar er næsta tala "80". Skrifaðu „80“ við hliðina á 3 í vinstra fjórðungi. Margfaldaðu síðan töluna efst til hægri með 2. Þessi tala er 2, svo 2 × 2 = 4. Skrifaðu niður "" 4 "" neðst til hægri og síðan á eftir _×_=.
5. Sláðu inn tölurnar til hægri. Í autt bil samtalsins (hægri), sláðu inn stærstu heiltöluna sem gerir niðurstöðu margföldunarsummunnar til hægri minni eða jafnt og núverandi tala til vinstri.
   • Í dæminu okkar sláum við inn 8 og þetta gefur 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Þetta er stærra en 380. Svo að 8 er of stór en 7 er líklega ekki. Fylltu út 7 og leystu: 4 (7) × 7 = 329. 7 er gott því 329 er minna en 380. Skrifaðu 7 efst til hægri. Þetta er önnur tölustafurinn í kvaðratrótinni 780,14.
6. Dragðu númerið sem þú reiknaðir út frá núverandi tölu til vinstri. Þannig að þú dregur niðurstöðuna úr margfölduninni til hægri frá núverandi svari til vinstri. Skrifaðu svarið beint fyrir neðan það.
   • Í dæminu okkar drögum við 329 frá 380, og það gefur 51 í kjölfarið.
7. Endurtaktu skref 4. Færðu næsta par af tölum niður úr 780,14. Þegar þú kemur að kommu, skrifaðu þá kommu í svarið til hægri. Margfaldaðu þá efstu hægri töluna með 2 og skrifaðu svarið við hliðina á ("_ × _") eins og að ofan.
   • Í svari okkar skrifum við nú kommu vegna þess að við lendum líka í þessu 780,14. Færðu næsta par (14) niður vinstra fjórðunginn. 27 x 2 = 54, þannig að við skrifum „54 _ × _ =“ neðst í hægra fjórðungi.
8. Endurtaktu skref 5 og 6. Finndu stærstu töluna sem gefur svar sem er minna en eða jafnt og núverandi tala til vinstri. Leystu.
   • Í dæmi okkar, 549 × 9 = 4941, sem er minna en eða jafnt og fjöldinn til vinstri (5114). 549 × 10 = 5490, sem er of hátt, svo að 9 er svarið okkar. Skrifaðu 9 sem næstu efstu hægri tölu og dragðu niðurstöðuna úr margfölduninni frá vinstri tölunni: 5114 -4941 = 173.
9. Til að gera niðurstöðuna nákvæma skaltu endurtaka fyrri aðferð þar til þú finnur svarið með þeim aukastöfum (hundraðasta, þúsundasta) sem þú þarft.

Skilja málsmeðferðina

1. Lítum á töluna sem þú vilt reikna ferningsrótina sem svæði S á ferningi. Þar sem flatarmál fernings er L, þar sem L er lengd annarrar hliðar þess, þannig að með því að finna ferningsrót tölunnar þinnar, reynir þú að reikna lengd L hliðar þess fernings.
2. Gefðu hverjum tölustaf svars þíns staf. Sláðu inn breytuna A sem fyrsta tölustaf L (kvaðratrótin sem við erum að reyna að reikna). B er önnur tölustafurinn, C sá þriðji og svo framvegis.
3. Gefðu staf fyrir hvert „númerapar“ af númerinu sem þú byrjar á. Gefðu breytunni S_a að fyrsta tölustafaparinu í S (upphafsgildið), S._b að öðru tölustafaparinu o.s.frv.
4. Skilja sambandið á milli þessarar aðferðar og langrar skiptingar. Þessi aðferð við að finna kvaðratrót er í meginatriðum löng skipting, þar sem þú deilir upphafsgildinu með ferningsrótinni og "gefur" ferningsrótina sem svar. Eins og með langskiptingu, þar sem þú hefur aðeins áhuga á næsta tölustaf í einu, hefur þú aðeins áhuga á næstu tveimur tölustöfum í einu (sem samsvarar næsta tölustaf ferningsrótarinnar).
5. Finndu stærstu töluna þar sem ferningur er minni en eða jafnt og S._a er. Fyrsta tölustafurinn A í svari okkar er þá stærsta heiltala sem ferningur er ekki stærri en S._a (A þannig að A² ≤ Sa (A + 1) ²). Í dæmi okkar, S_a = 7, og 2² ≤ 7 3², svo A = 2.
   • Athugaðu að ef þú deilir 88962 með 7 með því að nota langskiptingu, þá er fyrsta skrefið jafnt: þú takast fyrst á við fyrsta tölustaf 88962 (8) og þú vilt að stærsta tölustafurinn verði margfaldaður með 7 sem er minni en eða jafnt og 8. Í meginatriðum þú ákveða d þannig að 7 × d ≤ 8 7 × (d + 1). Í þessu tilfelli er d jafnt og 1.
6. Sýndu torgið sem þú vilt finna svæðið á. Svar þitt, kvaðratrót upphafsgildisins, er L sem lýsir lengd fernings með svæði S (upphafsgildið). Gildin fyrir A, B og C tákna tölustafina í gildinu L. Önnur leið til að segja þetta er að fyrir 2 stafa svar, 10A + B = L, og fyrir 3 stafa svar, 100A + 10B + C = L, og svo framvegis.
   • Í okkar dæmi (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Mundu að 10A + B táknar svar okkar L ásamt B í einingarstöðu og A í tugastöðu. Til dæmis, ef A = 1 og B = 2, þá er 10A + B talan 12. (10A + B) ² er flatarmál alls torgsins, meðan 100A² er flatarmál stærsta innra torgsins, B² er svæði minnsta torgsins og 10A × B er flatarmál hvers af þeim rétthyrningum sem eftir eru. Með þessari löngu, flóknu aðferð getum við fundið flatarmál alls reitsins með því að bæta við svæðum ferninga og ferhyrninga sem eru hluti af því.
7. Dragðu A² frá S._a. Komdu með númerapör (S._b) niður frá tölunni S. S._a S._b er næstum heildarflatarmál ferningsins, þaðan sem þú dregur frá flatarmáli stærsta innra torgsins. Afgangurinn er, segjum númerið N1, sem við fengum í skrefi 4 (N1 = 380 í dæminu okkar). N1 jafngildir 2 × 10A × B + B² (flatarmál tveggja rétthyrninganna auk flatarmál litla ferningsins).
8. Horfðu á N1 = 2 × 10A × B + B², einnig skrifað sem N1 = (2 × 10A + B) × B. Í dæminu okkar þekkir þú nú þegar N1 (380) og A (2), svo nú þarftu að finna B. B er líklega ekki heil tala, svo þú verður að gera það reyndar finndu stærstu heiltöluna B, þannig að (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Svo núna hefur þú: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. Leystu jöfnuna. Til að leysa þessa jöfnu margfaldaðu A með 2, færðu það á tíuna (margföldaðu með 10), settu B í einingarnar og margföldaðu niðurstöðuna með B. Með öðrum orðum, (2 × 10A + B) × B. Þetta er nákvæmlega það sem þú gerir þegar þú skrifar „N_ × _ =“ (með N = 2 × A) neðst í hægra fjórðungi í skrefi 4. Í skrefi 5 ákvarðar þú stærstu heiltöluna B sem passar fyrir neðan línuna, svo (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
10. Dragðu svæðið frá (2 × 10A + B) × B frá heildarsvæðinu. Þetta gefur svæðið S- (10A + B) ² sem þú hefur ekki enn tekið tillit til (og sem þú notar til að reikna eftirfarandi tölur á sama hátt).
11. Til að reikna næsta tölustaf C, endurtaktu aðferðina. Færðu næsta tölustafapar frá S niður (S_c) til að fá N2 til vinstri og leita að stærsta C svo að þú hafir núna: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (jafnt tvöfalt tveggja stafa númerið "AB" fylgdi með "_ × _ =" Nú skaltu ákvarða stærstu töluna sem þú getur slegið inn hér, sem gefur þér svar sem er minna en eða jafnt og N2.

Ábendingar

• Að færa kommuna um tvo staði (stuðullinn 100) færir kommuna í samsvarandi kvaðratrót um einn stað (stuðullinn 10).
• Í dæminu gæti 1,73 talist „afgangur“: 780,14 = 27,9² + 1,73.
• Þessi aðferð virkar fyrir hvaða talnakerfi sem er, ekki bara aukastafakerfið (aukastaf).
• Ekki hika við að setja útreikningana þar sem þú vilt. Sumir skrifa það fyrir ofan þá tölu sem þeir vilja reikna ferningsrótina af.
• Önnur aðferð er eftirfarandi: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). Til dæmis, til að reikna ferningsrótina 780,14, taktu þá heiltöluna sem ferningurinn er næst 780,14 (28), svo = 780,14, x = 28 og y = -3,86. Fylling og áætlun gefur okkur x + y / (2x) og þetta gefur (einfölduð hugtök) 78207/2800 eða um það bil 27.931 (1); eftirfarandi hugtak, 4374188/156607 eða um 27.930986 (5). Hvert hugtak bætir við um það bil 3 aukastöfum af nákvæmni við það fyrra.

Viðvaranir

• Vertu viss um að deila tölunni í pör frá aukastafnum. Skiptir 79520789182.47897 í „79 52 07 89 18 2,4 78 97 "gefur ranga niðurstöðu.