Efni.

• Skref
• Hluti 1 af 3: Factoring tvíliða
• Hluti 2 af 3: Þátttaka í tvílitum til að leysa jöfnur
• 3. hluti af 3: Leysa flókin vandamál
• Ábendingar
• Viðvaranir

Binomial (binomial) er stærðfræðileg tjáning með tveimur hugtökum á milli þess sem er plús- eða mínusmerki, til dæmis, ${ displaystyle ax + b}$... Fyrsti meðlimurinn inniheldur breytuna og sá seinni inniheldur hana eða ekki. Factoring tvíliða felur í sér að finna hugtök sem, þegar margfaldað, framleiða upprunalegu tvílögin til að leysa eða einfalda það.

Skref

Hluti 1 af 3: Factoring tvíliða

1. 1 Skilja grunnatriði factoring ferli. Þegar reiknað er tvílit er þátturinn sem er deilir hvers hugtaks upprunalegu tvíliða tekinn úr sviganum. Til dæmis er tölan 6 alveg deilanleg með 1, 2, 3, 6. Þannig eru deilir tölunnar 6 tölurnar 1, 2, 3, 6.
   • Skiptingar 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • Deildir hvaða tölu sem er eru 1 og talan sjálf. Til dæmis eru deilir 3 3 og 1.
   • Heiltöluskiptingar geta aðeins verið heiltölur. Hægt er að deila tölunni 32 með 3.564 eða 21.4952, en þú færð ekki heiltölu, heldur aukastaf.
2. 2 Pantaðu skilmála tvíliða til að auðvelda factoring ferlið. Tvígangur er summa eða mismunur á tveimur hugtökum, að minnsta kosti eitt þeirra inniheldur breytu. Stundum eru breytur færðar til valda, til dæmis, ${ displaystyle x ^ {2}}$ eða ${ displaystyle 5y ^ {4}}$... Það er betra að raða hugtökum í tvíliðu í hækkandi röð veldisstiga, það er að segja, hugtakið með minnstu veldisvísitöluna er skrifað fyrst og með því stærsta - það síðasta. Til dæmis:
   • ${ displaystyle 3t + 6}$ → ${ displaystyle 6 + 3t}$
   • ${ displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ displaystyle x ^ {2} -2}$ → ${ displaystyle -2 + x ^ {2}}$
     • Taktu eftir mínusmerki fyrir framan 2. Ef hugtak er dregið frá, skrifaðu mínusmerki fyrir framan það.
3. 3 Finndu stærsta sameiginlega skiptinguna (GCD) beggja hugtaka. GCD er stærsta talan sem báðir meðlimir tvíliða eru deilanlegir með. Til að gera þetta, finndu deiliskipta hvers hugtaks í tvíliða og veldu síðan stærsta sameiginlega skiptinguna. Til dæmis:
   • Verkefni:${ displaystyle 3t + 6}$.
     • Skiptingar 3: 1, 3
     • Skiptingar 6: 1, 2, 3, 6.
     • GCD = 3.
4. 4 Skiptu hverju hugtaki í tvílit með Greatest Common Divisor (GCD). Gerðu þetta til að taka út GCD. Athugið að hver hluti tvíliða minnkar (vegna þess að hann er deilanlegur), en ef GCD er útilokað frá sviganum verður lokatjáningin jöfn upphaflegu.
   • Verkefni:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Finndu GCD: 3
   • Skiptu hverju tvíliða hugtaki með gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 Færðu skiptinguna úr sviga. Áður deildir þú báðum skilmálum tvíliða með deilunni 3 og fékkst ${ displaystyle t + 2}$... En þú getur ekki losnað við 3 - til þess að gildi upphafs- og lokatjáningar séu jöfn, þá þarftu að setja 3 utan sviga og skrifa tjáninguna sem fæst vegna skiptingar innan sviga. Til dæmis:
   • Verkefni:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Finndu GCD: 3
   • Skiptu hverju tvíliða hugtaki með gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • Margfalda deilirinn með tjáningu sem myndast:${ displaystyle 3 (t + 2)}$
   • Svar: ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
6. 6 Athugaðu svarið þitt. Til að gera þetta, margfalda hugtakið fyrir sviga með hverju hugtaki innan sviga. Ef þú færð upprunalega tvíliða er lausnin rétt. Nú leysa vandamálið ${ displaystyle 12t + 18}$:
   • Pantaðu meðlimina:${ displaystyle 18 + 12t}$
   • Finndu GCD:${ displaystyle 6}$
   • Skiptu hverju tvíliða hugtaki með gcd:${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • Margfalda deilirinn með tjáningu sem myndast:${ displaystyle 6 (3 + 2t)}$
   • Athugaðu svarið:${ displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

Hluti 2 af 3: Þátttaka í tvílitum til að leysa jöfnur

1. 1 Taktu þátt í tvíliða til að einfalda það og leysa jöfnuna. Við fyrstu sýn virðist ómögulegt að leysa sumar jöfnur (sérstaklega með flóknum tvílitum). Til dæmis, leysið jöfnuna ${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$... Það eru kraftar í þessari jöfnu, svo þáttur í tjáningu fyrst.
   • Verkefni:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Mundu að tvílit hefur tvo meðlimi. Ef tjáningin inniheldur fleiri hugtök, lærðu að leysa margliða.
2. 2 Bættu við eða dragðu einhverja einliðu frá báðum hliðum jöfnunnar þannig að núll sé áfram á annarri hlið jöfnunnar. Ef um þáttun er að ræða er lausnin á jöfnum byggð á óbreytanlegri staðreynd að öll tjáning margfölduð með núlli er jöfn núlli. Þess vegna, ef við jafnum jöfnu við núll, þá verður einhver þáttur hennar að vera jafn núll. Stilltu eina hlið jöfnunnar á 0.
   • Verkefni:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Stillt á núll:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}$
     • ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3. 3 Taktu þátt í ruslinu sem myndast. Gerðu þetta eins og lýst var í fyrri hlutanum. Finndu stærsta sameiginlega þáttinn (GCD), deildu báðum hugtökum tvíliða með því og færðu síðan stuðulinn úr sviga.
   • Verkefni:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Stillt á núll:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
   • Þáttur:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4. 4 Stilltu hvern þátt á núll. Í tjáningu sem myndast er 2y margfaldað með 4 - y og þessi vara er jöfn núlli. Þar sem einhver tjáning (eða hugtak) margfölduð með núlli er núll, þá er 2y eða 4 - y 0. Setjið eininguna og tvíliða sem myndast á núll til að finna „y“.
   • Verkefni:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Stillt á núll:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • Þáttur:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
   • Stilltu báða þættina á 0:
     • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y = 0}$
5. 5 Leysið jöfnurnar sem myndast til að finna endanlega svarið (eða svörin). Þar sem hver þáttur jafngildir núlli getur jöfnan haft margar lausnir. Í dæminu okkar:
   • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ displaystyle 4-y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 Athugaðu svarið þitt. Til að gera þetta skaltu skipta gildunum sem fundust í upphaflegu jöfnuna. Ef jafnréttið er satt þá er ákvörðunin rétt. Skiptu um fundin gildi í stað „y“. Í dæminu okkar er y = 0 og y = 4:
   • ${ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ displaystyle 0 + 0 = 0}$
     • ${ displaystyle 0 = 0}$Þetta er rétt ákvörðun
   • ${ displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ displaystyle 20-32 = -12}$
     • ${ displaystyle -12 = -12}$Og þetta er rétt ákvörðun

3. hluti af 3: Leysa flókin vandamál

1. 1 Mundu að hugtak með breytu getur einnig verið þáttur, jafnvel þótt breytan sé hækkuð í kraft. Þegar þú reiknar inn þarftu að finna eintal sem skiptir hvern lið tvíliða óaðskiljanlega. Til dæmis einhliða ${ displaystyle x ^ {4}}$ má stuðla að ${ displaystyle x * x * x * x}$... Það er að segja, ef annað hugtak tvíliða inniheldur einnig breytuna „x“, þá er hægt að taka „x“ úr sviga. Þannig að meðhöndla breytur sem heiltölur. Til dæmis:
   • Báðir meðlimir tvíliða ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ innihalda „t“, þannig að hægt er að taka „t“ úr sviga: ${ displaystyle t (2 + t)}$
   • Einnig er hægt að taka breytu sem er hækkuð í kraft úr krappi. Til dæmis báðir meðlimir tvíliða ${ displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ innihalda ${ displaystyle x ^ {2}}$, svo ${ displaystyle x ^ {2}}$ er hægt að taka úr sviganum: ${ displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 Bættu við eða dragðu frá svipuðum hugtökum til að fá tvíliða. Til dæmis, miðað við tjáninguna ${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$... Við fyrstu sýn er þetta margliða, en í raun er hægt að breyta þessari tjáningu í tvílit. Bættu við svipuðum hugtökum: 6 og 14 (innihalda ekki breytu) og 2x og 3x (innihalda sömu breytuna "x"). Í þessu tilviki verður aðlögunarferlið einfaldað:
   • Upprunalega tjáning:${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • Pantaðu meðlimina:${ displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
   • Bættu við svipuðum hugtökum:${ displaystyle 5x + 20}$
   • Finndu GCD:${ displaystyle 5 (x) +5 (4)}$
   • Þáttur:${ displaystyle 5 (x + 4)}$
3. 3 Taktu þátt í mismun fullkominna ferninga. Fullkominn ferningur er tala þar sem veldisrótin er heil tala, til dæmis ${ displaystyle 9}$${ displaystyle (3 * 3)}$, ${ displaystyle x ^ {2}}$${ displaystyle (x * x)}$ og jafnvel ${ displaystyle 144t ^ {2}}$${ displaystyle (12t * 12t)}$... Ef tvígangurinn er munurinn á fullkomnum ferningum, til dæmis, ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$, þá er það þáttur með formúlunni:
   • Munur á ferningum formúlu:${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a -b)}$
   • Verkefni:${ displaystyle 4x ^ {2} -9}$
   • Dragðu út fermetrarótirnar:
     • ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • Setjið gildin sem finnast í formúluna: ${ displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x -3)}$
4. 4 Taktu mismuninn á heilu teningunum. Ef tvíliða er mismunur á heilum teningum, til dæmis, ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}$, þá er það stuðlað með sérstakri formúlu. Í þessu tilfelli er nauðsynlegt að draga teningarrótina úr hverjum liði tvíliða og setja gildin í formúluna.
   • Formúlan fyrir muninn á teningum:${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a -b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • Verkefni:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Dragðu út kúbikarrætur:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Setjið gildin sem finnast í formúluna: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x -3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 Taktu saman summa heilu teninganna. Ólíkt summu fullkominna ferninga er summa heilla teninga, til dæmis, ${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}$, má stuðla að með sérstakri formúlu. Það er svipað og formúlan fyrir mismuninn á teningum en merkin snúast við. Formúlan er frekar einföld - til að nota hana skaltu finna summan af heilum teningum í vandamálinu.
   • Formúlan fyrir summa teninga:${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • Verkefni:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Dragðu út kúbikarrætur:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Setjið gildin sem finnast í formúluna: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

Ábendingar

• Stundum hafa tvíliðar ekki sameiginlegan deilanda. Í sumum verkefnum eru félagar kynntir í einfölduðu formi.
• Ef þú finnur ekki GCD strax skaltu byrja á því að deila með litlum tölum. Til dæmis, ef þú sérð ekki að GCD númeranna 32 og 16 er 16, deildu báðum tölunum með 2. Þú færð 16 og 8; þessum tölum má deila með 8. Nú færðu 2 og 1; ekki er hægt að fækka þessum fjölda. Þannig er augljóst að það er stærri tala (samanborið við 8 og 2), sem er sameiginlegur deilir tveggja gefnu talna.
• Athugið að sjöttu stigs hugtök (með veldisvísu 6, til dæmis x) eru bæði fullkomnir ferningar og fullkomnir teningar. Þannig er hægt að beita (í hvaða röð sem er) formúlurnar fyrir mismun ferninga og muninn á teningum á tvíhyrninga með sjöttu stigs hugtökum, til dæmis x - 64. En það er betra að nota fyrst formúluna fyrir mismun ferninga til að brotna niður með tvíliða á réttari hátt.

Viðvaranir

• Ekki er hægt að taka þátt í tvíliða, sem er summa fullkominna ferninga.